Editing Symplektische Struktur des Phasenraums

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|4}}</noinclude>


Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1


:<math>\bar{x}:=\left( \begin{matrix}
   q  \\
   p  \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Vektor im Phasenraum


:<math>{{H}_{,}}_{x}:=\left( \begin{matrix}
   \frac{\partial H}{\partial q}  \\
   \frac{\partial H}{\partial p}  \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Ableitungsvektor


:<math>J:=\left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   -1 & 0  \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Metrik im Phasenraum ( metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:


:<math>\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{,x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{,x}}\Leftrightarrow \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}</math>


Leicht läßt sich zeigen:


:<math>\begin{align}
  & {{J}^{2}}=-1 \\ 
 & {{J}^{-1}}={{J}^{T}}=-J \\ 
\end{align}</math>


====Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade====


:<math>\begin{align}
  & \bar{x}:=\left( \begin{matrix}
   {{q}_{1}}  \\
   ...  \\
   {{q}_{f}}  \\
   {{p}_{1}}  \\
   ...  \\
   {{p}_{f}}  \\
\end{matrix} \right) \\ 
 & {{{\bar{H}}}_{x}}:=\left( \begin{matrix}
   \frac{\partial H}{\partial {{q}_{1}}}  \\
   ...  \\
   \frac{\partial H}{\partial {{q}_{f}}}  \\
   \frac{\partial H}{\partial {{p}_{1}}}  \\
   ...  \\
   \frac{\partial H}{\partial {{p}_{f}}}  \\
\end{matrix} \right)\quad \quad J:=\left( \begin{matrix}
   0 & {{1}_{f}}  \\
   -{{1}_{f}} & 0  \\
\end{matrix} \right) \\ 
\end{align}</math>


Die kanonischen Gleichungen lauten


:<math>\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{x}}</math>


Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:


:<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{H}_{x}}</math>


Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:


:<math>H=\frac{1}{2}\left( a{{q}^{2}}+2bqp+c{{p}^{2}} \right)\quad z.\mathbf{B}.a={{\omega }_{0}}^{2},b=0,c=1</math>



:<math>\Rightarrow \dot{\bar{x}}:=\left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   -1 & 0  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   \frac{\partial H}{\partial q}  \\
   \frac{\partial H}{\partial p}  \\
\end{matrix} \right)=\begin{matrix}
   bq+cp  \\
   -aq-bp  \\
\end{matrix}</math>


Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:


:<math>\begin{align}
  & A=\left( \begin{matrix}
   b & c  \\
   -a & -b  \\
\end{matrix} \right) \\ 
 & tr\left( A \right)=0 \\ 
\end{align}</math>


Dies gilt für Hamiltonsche Systeme ! ( Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

====Kanonische Transformationen in kompakter Notation====

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

# 
:<math>\begin{align}
  & {{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t): \\ 
 & \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}} \\ 
 & {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\ 
\end{align}</math>


# 
:<math>\begin{align}
  & {{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}} \\ 
 & \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}} \\ 
 & {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}} \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\ 
\end{align}</math>


# 
:<math>\begin{align}
  & {{M}_{3}}(\bar{p},\bar{Q},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \\ 
 & \Rightarrow {{q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{j}}} \\ 
 & {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\ 
\end{align}</math>


# 
:<math>\begin{align}
  & {{M}_{4}}(\bar{p},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \right) \\ 
 & \Rightarrow {{q}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{j}}} \\ 
 & {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{P}_{j}}}={{q}_{j}} \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=-\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\ 
\end{align}</math>


Dabei sind:


:<math>\bar{x}:=\left( \begin{matrix}
   {{q}_{1}}  \\
   ...  \\
   {{q}_{f}}  \\
   {{p}_{1}}  \\
   ...  \\
   {{p}_{f}}  \\
\end{matrix} \right)\quad \quad \bar{y}:=\left( \begin{matrix}
   {{Q}_{1}}  \\
   ...  \\
   {{Q}_{f}}  \\
   {{P}_{1}}  \\
   ...  \\
   {{P}_{f}}  \\
\end{matrix} \right)</math>



:<math>\begin{align}
  & {{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}} \\ 
 & {{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\alpha \beta }}:=\frac{\partial {{y}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}\quad \quad \alpha ,\beta =1,...,2f \\ 
\end{align}</math>


====Beweis:====

:<math>\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}{{M}_{\alpha \gamma }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\gamma \beta }}=\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\gamma }}}\frac{\partial {{y}_{\gamma }}}{\partial {{x}_{\beta }}}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}={{\delta }_{\alpha \beta }}</math>


Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:


:<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{2f}{{{J}_{\alpha \mu }}{{J}_{\beta \nu }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\mu \nu }}}</math>


====Beweis:====
In Matrixform lautet diese Gleichung:


:<math>M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}</math>


Die linke Seite (M) lautet:


:<math>M=\left( \begin{matrix}
   \frac{\partial q}{\partial Q} & \frac{\partial q}{\partial P}  \\
   \frac{\partial p}{\partial Q} & \frac{\partial p}{\partial P}  \\
\end{matrix} \right)</math>


Die rechte Seite lautet:


:<math>\begin{align}
  & J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   -1 & 0  \\
\end{matrix} \right){{\left[ \left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   -1 & 0  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p}  \\
   \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p}  \\
\end{matrix} \right) \right]}^{T}}=\left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   -1 & 0  \\
\end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
   \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p}  \\
   -\frac{\partial Q}{\partial q} & -\frac{\partial Q}{\partial p}  \\
\end{matrix} \right)}^{T}} \\ 
 & =\left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   -1 & 0  \\
\end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
   {{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}}  \\
   {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}}  \\
\end{matrix} \right)}^{{}}}=\left( \begin{matrix}
   {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}}  \\
   -{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & {{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}}  \\
\end{matrix} \right) \\ 
\end{align}</math>


Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:


:<math>\begin{align}
  & M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}} \\ 
 & \Rightarrow JM=-{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}} \\ 
 & \Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}}M \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J \\ 
 & {{M}^{T}}JM=J \\ 
\end{align}</math>


Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen !

J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:


:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right):={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}=\sum\limits_{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}</math>


es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform

Eigenschaften:

# Schiefsymmetrie: 
:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>
, Beweis: 
:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>

# bilinear: 
:<math>\left( \bar{x},{{\lambda }_{1}}{{{\bar{y}}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{{\bar{y}}}_{2}} \right)={{\lambda }_{1}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{1}} \right)+{{\lambda }_{2}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{2}} \right)</math>

# nichtentartet: 
:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=0\forall \bar{y}\Rightarrow \bar{x}=0</math>


Nebenbemerkung: Es gilt: 
:<math>\left( \bar{x},\bar{x} \right)=0\forall \bar{x}</math>
 Also Selbstorthogonalität

Beweis: 
:<math>{{\bar{x}}^{T}}J\bar{x}=\left( \begin{matrix}
   q & p  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   -1 & 0  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   q  \\
   p  \\
\end{matrix} \right)=qp-pq=0</math>


Die Symplektische Struktur auf dem 
:<math>{{R}^{2f}}</math>
ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:


:<math>{{\left( \bar{x},\bar{y} \right)}_{Eu}}=\sum\limits_{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar{x}}^{T}}g\bar{y}</math>


Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix !

Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:


:<math>\begin{align}
  & \left( \bar{x},\bar{y} \right)=\left( \bar{y},\bar{x} \right) \\ 
 & \left( \bar{x},\bar{x} \right)\ge 0 \\ 
\end{align}</math>


====Definition:====
Die Menge der Matrizen M ( kanonische Trafo) mit


:<math>{{M}^{T}}JM=J</math>
bildet die reelle symplektische Gruppe S über 
:<math>{{R}^{2f}}</math>
.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

====Gruppeneigenschaften====

1. 
:<math>{{M}_{1}},{{M}_{2}}\in S\Rightarrow {{M}_{3}}={{M}_{1}}{{M}_{2}}\in S</math>


Beweis: 
:<math>{{M}_{3}}^{T}J{{M}_{3}}={{\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)}^{T}}J\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)={{M}_{2}}^{T}{{M}_{1}}^{T}J{{M}_{1}}{{M}_{2}}={{M}_{2}}^{T}J{{M}_{2}}=J</math>


2. Assoziativität ( matrixmultiplikation !)

3. Einselement Einheitsmatrix !

# Inverse: 
:<math>{{M}^{-1}}:={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J</math>

Beweis: 
:<math>{{M}^{-1}}M=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)M={{J}^{-1}}\left( {{M}^{T}}JM \right)={{J}^{-1}}J=1</math>


Dabei gilt : 
:<math>{{M}^{T}},J\in S</math>
Beweis: Übungsaufgabe

# Weiter gilt: 
:<math>\det M=1</math>
Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102

Fazit:

Die Invarianz der kanonischen Gleichungen 
:<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>
kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:


:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{y}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial {{y}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}{{{\dot{x}}}_{k}}}\Leftrightarrow \dot{\bar{y}}={{M}^{-1}}\dot{\bar{x}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\ 
 & \frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{i}}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{x}_{k}}}\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{y}_{i}}}\Leftrightarrow {{{\bar{H}}}_{,y}}={{M}^{T}}{{{\bar{H}}}_{,x}}} \\ 
 & \Rightarrow \dot{\bar{y}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=-J\left( -1 \right){{M}^{T}}{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=J{{{\bar{H}}}_{,y}} \\ 
\end{align}</math>