Editing Streuamplitude und Streuquerschnitt

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|2}}</noinclude>

<u>Voraussetzung</u> <math>\begin{matrix}
   \lim   \\
   r\acute{\ }\to \infty   \\
\end{matrix}V(\bar{r}\acute{\ })=0</math> hinreichend rasch!

Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden.

das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben.
Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r→ unendlich der Integrand nur  mit <math>r\acute{\ }<<r</math>
bei.
r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die {{FB|Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !

Wir können also <math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
 für r>> r´ entwickeln:
:<math>\begin{align}
  & |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|=\sqrt{{{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( {{{\bar{r}}}^{2}}-2\bar{r}\bar{r}\acute{\ }+\bar{r}\acute{\ } \right)}=r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}}+{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}\approx r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}} \right)\approx }r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \\ 
 & {{{\bar{e}}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r} \\ 
\end{align}</math>

Somit
:<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}}{4\pi r}</math>


Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math> die {{FB|Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert !
:<math>\frac{1}{4\pi r}</math> ist die {{FB|Streuamplitude}}, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !
Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!

:<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math>

Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen !
Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben 
werden:

:<math>\begin{matrix}
   \lim   \\
   r->\infty   \\
\end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>


:<math>\begin{matrix}
   \lim   \\
   r->\infty   \\
\end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math>

Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung !

* <math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> als '''durchlaufende Welle'''
* <math>\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}</math> als  '''auslaufende Kugelwelle'''

Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude
:<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>


Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> abhängt:
Die Streuung ist elastisch !


==Wirkungsquerschnitt==

Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum.

Dabei ist definiert:

:<math>\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}</math>

{{FB|Strahlfläche}}:= Fläche, auf die der Strahl trifft 


:<math>\sigma </math>: streuende Fläche

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:

Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt)

:<math>\sigma </math>


:<math>\sigma :=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>

Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten

:<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>



:<math>d\sigma =\frac{{{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left| {{{\bar{j}}}_{e}} \right|}</math>

:<math>d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi </math>


Zur einlaufenden Welle:

:<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>
 gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:

:<math>{{\bar{j}}_{e}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{e}}*\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}* \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\left| \Psi  \right|}^{2}}</math>

Zur Streuwelle in Richtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math>

also: <math>{{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math>

gehört die Radialkomponente der Stromdichte:

:<math>\begin{align}
  & {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{S}}*\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}* \right)=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{-ikr}}}{r} \right) \\ 
 & \Rightarrow {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\left( \frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{ikr}}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\left( -\frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{-ikr}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m{{r}^{2}}}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}} \\ 
\end{align}</math>

Somit ergibt sich die einfache Form des {{FB|differenziellen Wirkungsquerschnitts}}:
:<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}</math>


Und der {{FB|totale Wirkungsquerschnitt}} folgt zu
:<math>{{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}</math>

Mit der {{FB|Streuamplitude}}
:<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>