Editing Streuamplitude und Streuquerschnitt
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das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben. | das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben. | ||
Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für | Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r-> unendlich der Integrand nur mit <math>r\acute{\ }<<r</math> | ||
bei. | bei. | ||
r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die {{FB|Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht.! | r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die {{FB|Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. ! | ||
Wir können also <math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> | Wir können also <math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> | ||
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Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math> die {{FB|Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert! | Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math> die {{FB|Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert ! | ||
<math>\frac{1}{4\pi r}</math> ist die {{FB|Streuamplitude}}, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält ! | |||
Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude! | Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude! | ||
<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math> | |||
Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! (Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen! | Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen ! | ||
Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben | Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben | ||
werden: | werden: | ||
Line 45: | Line 45: | ||
\end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math> | \end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math> | ||
Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung! | Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung ! | ||
* <math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> als '''durchlaufende Welle''' | * <math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> als '''durchlaufende Welle''' | ||
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Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> abhängt: | Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> abhängt: | ||
Die Streuung ist elastisch! | Die Streuung ist elastisch ! | ||
Line 64: | Line 64: | ||
Dabei ist definiert: | Dabei ist definiert: | ||
<math>\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}</math> | |||
{{FB|Strahlfläche}}:= Fläche, auf die der Strahl trifft | {{FB|Strahlfläche}}:= Fläche, auf die der Strahl trifft | ||
<math>\sigma </math>: streuende Fläche | |||
Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren: | Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren: | ||
Line 75: | Line 75: | ||
Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt) | Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt) | ||
<math>\sigma </math> | |||
<math>\sigma :=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math> | |||
Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten | Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten | ||
<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math> | |||
<math>d\sigma =\frac{{{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left| {{{\bar{j}}}_{e}} \right|}</math> | |||
<math>d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi </math> | |||
Zur einlaufenden Welle: | Zur einlaufenden Welle: | ||
<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> | |||
gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte: | gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte: | ||
<math>{{\bar{j}}_{e}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{e}}*\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}* \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\left| \Psi \right|}^{2}}</math> | |||
Zur Streuwelle in Richtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> | Zur Streuwelle in Richtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> | ||
Line 110: | Line 110: | ||
Somit ergibt sich die einfache Form des {{FB|differenziellen Wirkungsquerschnitts}}: | Somit ergibt sich die einfache Form des {{FB|differenziellen Wirkungsquerschnitts}}: | ||
<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}</math> | |||