Editing Streuamplitude und Streuquerschnitt
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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|2}} | |||
Voraussetzung <math>\begin{matrix} | |||
\lim \\ | \lim \\ | ||
r\acute{\ }\to \infty \\ | r\acute{\ }\to \infty \\ | ||
\end{matrix}V(\bar{r}\acute{\ })=0</math> | \end{matrix}V(\bar{r}\acute{\ })=0</math> | ||
HINREICHEND RASCH ! | |||
Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden. | Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden. | ||
das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben. | das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben. | ||
Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für | Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r-> unendlich der Integrand nur mit <math>r\acute{\ }<<r</math> | ||
bei. | bei. | ||
r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die | r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die Fernfeldlösungen interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. ! | ||
Wir können also <math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> | Wir können also | ||
<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> | |||
für r>> r´ entwickeln: | für r>> r´ entwickeln: | ||
<math>\begin{align} | |||
& |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|=\sqrt{{{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( {{{\bar{r}}}^{2}}-2\bar{r}\bar{r}\acute{\ }+\bar{r}\acute{\ } \right)}=r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}}+{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}\approx r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}} \right)\approx }r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \\ | & |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|=\sqrt{{{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( {{{\bar{r}}}^{2}}-2\bar{r}\bar{r}\acute{\ }+\bar{r}\acute{\ } \right)}=r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}}+{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}\approx r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}} \right)\approx }r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \\ | ||
& {{{\bar{e}}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r} \\ | & {{{\bar{e}}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r} \\ | ||
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Somit | Somit | ||
<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}}{4\pi r}</math> | |||
Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math> | |||
die Streuphase, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert ! | |||
<math>\frac{1}{4\pi r}</math> | |||
ist die Streuamplitude, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält ! | |||
Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude ! | |||
<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math> | |||
Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! (Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen! | Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator ! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen ! | ||
Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben | Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben | ||
werden: | werden: | ||
<math>\begin{matrix} | |||
\lim \\ | \lim \\ | ||
r->\infty \\ | r->\infty \\ | ||
| Line 40: | Line 44: | ||
<math>\begin{matrix} | |||
\lim \\ | \lim \\ | ||
r->\infty \\ | r->\infty \\ | ||
\end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math> | \end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math> | ||
Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung! | Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung ! | ||
<math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> | |||
als durchlaufende Welle | |||
<math>\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}</math> | |||
als auslaufende Kugelwelle | |||
Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude | Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude | ||
<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math> | |||
Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> abhängt: | Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung | ||
Die Streuung ist elastisch! | <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> | ||
abhängt: | |||
Die Streuung ist elastisch ! | |||
0.1.1 Wirkungsquerschnitt | |||
Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum. | Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum. | ||
| Line 64: | Line 72: | ||
Dabei ist definiert: | Dabei ist definiert: | ||
<math>\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}</math> | |||
Strahlfläche:= Fläche, auf die der Strahl trifft | |||
<math>\sigma </math> | |||
: streuende Fläche | |||
Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren: | Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren: | ||
Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt) | Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt ( wie vom Streuquerschnitt) <math>\sigma </math> | ||
<math>\sigma :=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math> | |||
Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten | Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten | ||
<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math> | |||
<math>d\sigma =\frac{{{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left| {{{\bar{j}}}_{e}} \right|}</math> | |||
<math>d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi </math> | |||
Zur einlaufenden Welle: | Zur einlaufenden Welle: | ||
<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> | |||
gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte: | gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte: | ||
<math>{{\bar{j}}_{e}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{e}}*\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}* \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\left| \Psi \right|}^{2}}</math> | |||
Zur Streuwelle in Richtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> | Zur Streuwelle in Richtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> | ||
| Line 104: | Line 110: | ||
gehört die Radialkomponente der Stromdichte: | gehört die Radialkomponente der Stromdichte: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{S}}*\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}* \right)=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{-ikr}}}{r} \right) \\ | & {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{S}}*\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}* \right)=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{-ikr}}}{r} \right) \\ | ||
& \Rightarrow {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\left( \frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{ikr}}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\left( -\frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{-ikr}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m{{r}^{2}}}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}} \\ | & \Rightarrow {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\left( \frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{ikr}}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\left( -\frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{-ikr}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m{{r}^{2}}}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Somit ergibt sich die einfache Form des | Somit ergibt sich die einfache Form des differenziellen Wirkungsquerschnitts: | ||
<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}</math> | |||
Und der totale Wirkungsquerschnitt folgt zu | |||
<math>{{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}</math> | |||
Mit der | Mit der Streuamplitude | ||
<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math> | |||