Editing Stationäre Ströme und Magnetfeld
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< | {{Scripthinweis|2|Elektrodynamik}} | ||
=Kontinuitätsgleichung= | |||
Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I | |||
Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten: | |||
<math>Q(t)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)</math> | |||
Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz: | |||
<math>\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I</math> | |||
<math>\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left| v \right|dt\left| df \right|\cos \alpha }{dt}=\rho \bar{v}d\bar{f}</math> | |||
Also gerade die Ladung, die durch | |||
<math>d\bar{f}</math> | |||
pro zeit aus V herausströmt | |||
Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte: | |||
<math>\bar{j}(\bar{r},t):=\rho (\bar{r},t)\bar{v}(\bar{r},t)</math> | |||
<math>\Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)</math> | |||
( Gauß !) für alle Volumina V ( einfach zusammenhängend) | |||
Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als LOKALER Erhaltungssatz: | |||
<math>\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\rho (\bar{r},t)+\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | |||
Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms: | |||
<math>\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | |||
Aber : natürlich muss deswegen nicht | |||
<math>\bar{j}(\bar{r},t)=0</math> | |||
gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein ! | |||
=Magnetische Induktion= | |||
<u>'''Experimentelle Erfahrung:'''</u> | |||
Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen: | |||
<math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math> | |||
Die sogenannte Lorentz- Kraft ! | |||
<math>\bar{B}(\bar{r})</math> | |||
ist die magnetische Induktion am Ort | |||
<math>\bar{r}</math> | |||
, die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte | |||
<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> | |||
. | |||
Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes: | |||
<math>\bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math> | |||
Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{F}=q\bar{E}(\bar{r}) \\ | |||
& \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho (\bar{r}\acute{\ })\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Die Einheiten im SI- System lauten: | |||
<math>\left[ B \right]=\frac{1Ns}{Cm}=\frac{1kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}\cdot \frac{s}{{{m}^{2}}}=1V\frac{s}{{{m}^{2}}}=1T</math> | |||
Mit diesen Einheiten ist dann | |||
<math>{{\mu }_{0}}=1,26\cdot {{10}^{-6}}\frac{Vs}{Am}</math> | |||
festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar !! | |||
Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung: | |||
Im Gauß System: | |||
<math>\bar{F}=\frac{q}{c}\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{B}(\bar{r})=\frac{1}{c}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | |||
& \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<u>'''Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:'''</u> | |||
Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden: | |||
Der Strom durch L´: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{v}\acute{\ }=\frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\ | |||
& \frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ } \\ | |||
& \Rightarrow \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit folgt das Biot- Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´: | |||
Die magnetische Induktion ist gerade: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }I\acute{\ }\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | |||
& \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade: | |||
<math>d\bar{F}=\rho \bar{v}\times \bar{B}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\bar{j}\times \bar{B}{{d}^{3}}r=Id\bar{r}\times \bar{B}</math> | |||
Also: | |||
<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\times \int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math> | |||
Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L | |||
mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& d\bar{r}\times \left( d\bar{r}\acute{\ }\times \left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)=\left( d\bar{r}\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)d\bar{r}\acute{\ }-\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \\ | |||
& und \\ | |||
& \int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}=-\left. \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right|_{L-ANfang}^{L-Ende}=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
( Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen) | |||
folgt: | |||
<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math> | |||
für parallele Ströme: | |||
<math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }>0</math> | |||
folgt Anziehung | |||
für antiparallele Ströme: | |||
<math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }<0</math> | |||
dagegen Abstoßung | |||
Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{r}\leftrightarrow \bar{r}\acute{\ } \\ | |||
& d\bar{r}\leftrightarrow d\bar{r}\acute{\ } \\ | |||
& I\leftrightarrow I\acute{\ } \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit: | |||
<math>\bar{F}\leftrightarrow -\bar{F}</math> | |||
( actio gleich reactio) | |||
=Die magnetostatischen Feldgleichungen= | |||
Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !! | |||
Mit dem Vektorpotenzial | |||
<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | |||
Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß | |||
<math>\bar{A}(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi </math> | |||
umgeeicht werden kann. | |||
( | |||
<math>\Psi (\bar{r})</math> | |||
beliebig möglich, da | |||
<math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math> | |||
) | |||
Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben: | |||
<math>\bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | |||
Beweis: | |||
<math>\begin{align} | |||
& rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | |||
& \Rightarrow rot\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}=\bar{B}(\bar{r}) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Folgende Aussagen sind äquivalent: | |||
Es existiert ein Vektorpotenzial mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r}) \\ | |||
& \Leftrightarrow \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<math>div\bar{B}=0</math> | |||
Beweis: | |||
<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math> | |||
es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen". | |||
Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !) | |||
Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen ! | |||
Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten | |||
<math>{{10}^{-35}}s</math> | |||
erzeugt worden sein sollen. | |||
Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.) | |||
'''Der Zusammenhang zwischen''' | |||
<math>\bar{B}(\bar{r})</math> | |||
und | |||
<math>\bar{j}(\bar{r})</math> | |||
: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r}) \\ | |||
& \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=\nabla \cdot \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | |||
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right] \\ | |||
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=-\frac{\partial }{\partial t}\rho =0 \\ | |||
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt ! | |||
Im Allgemeinen Fall gilt dagegen: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | |||
& \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\Phi (\bar{r},t) \\ | |||
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Mit dem Gaußschen Satz. | |||
Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt: | |||
<math>\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=0</math> | |||
Also: | |||
<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t)</math> | |||
Also: | |||
<math>\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math> | |||
Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Delta \bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\ | |||
& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
wegen | |||
<math>{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=4\pi \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> | |||
Also: | |||
<math>\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})+{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math> | |||
Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | |||
& {{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes | |||
Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !! | |||
Integration über eine Fläche F mit Rand | |||
<math>\partial F</math> | |||
liefert die Intgralform: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | |||
& \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Mit dem Satz von Stokes | |||
Das sogenannte Durchflutungsgesetz ! | |||
<u>'''Zusammenfassung:'''</u> | |||
<u>'''Magnetostatik:'''</u> | |||
<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math> | |||
( quellenfreiheit) | |||
<math>\begin{align} | |||
& rot\bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})\Leftrightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{B}={{\mu }_{0}}I \\ | |||
& \Rightarrow \Delta \bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung: | |||
<math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math> | |||
Dies geschieht durch die Umeichung | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi \\ | |||
& \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A}+\nabla \times \nabla \Psi \\ | |||
& \nabla \times \nabla \Psi =0\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A} \\ | |||
& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)=\nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | |||
& \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<u>'''Elektrostatik:'''</u> | |||
<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math> | |||
( Wirbelfreiheit) | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\ | |||
& \Leftrightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}=Q \\ | |||
\end{align}</math> | |||
differenzielle Form / integrale Form | |||
<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math> | |||
( Poissongleichung) | |||
=Magnetische Multipole= | |||
( stationär) | |||
Ausgangspunkt ist | |||
<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | |||
(mit der Coulomb- Eichung | |||
<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math> | |||
) | |||
mit den Randbedingungen | |||
<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math> | |||
für r-> unendlich | |||
Taylorentwicklung nach | |||
<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | |||
von analog zum elektrischen Fall: | |||
Die Stromverteilung | |||
<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> | |||
sei stationär für | |||
<math>r>>r\acute{\ }</math> | |||
<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | |||
<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | |||
'''Monopol- Term''' | |||
'''Mit''' | |||
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math> | |||
Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung: | |||
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math> | |||
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math> | |||
Mit | |||
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math> | |||
folgt dann: | |||
<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math> | |||
Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie | |||
'''Dipol- Term''' | |||
mit | |||
<math>\left[ \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{r}=\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ }=2\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math> | |||
und mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right)+{{x}_{k\acute{\ }}}\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j} \right] \\ | |||
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}=0 \\ | |||
& \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right) \right] \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Folgt: | |||
<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right) \right]=0</math> | |||
Da | |||
<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=0</math> | |||
weil der Strom verschwindet ! | |||
Somit gibt der Term | |||
<math>\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math> | |||
keinen Beitrag zum | |||
<math>\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math> | |||
Also: | |||
<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)\times \bar{r}</math> | |||
Als DIPOLPOTENZIAL !! | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{A}(\bar{r}):=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r} \\ | |||
& \bar{m}=\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
das magnetische Dipolmoment ! | |||
Analog zu | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\bar{p}\cdot \bar{r} \\ | |||
& \bar{p}:=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ }) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
dem elektrischen Dipolmoment | |||
Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als: | |||
<math>\bar{B}(\bar{r}):=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{m}\cdot \bar{r} \right)\bar{r}-{{r}^{2}}\bar{m} \right]</math> | |||
Wegen: | |||
<math>\nabla \times \left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( \bar{b}\cdot \nabla \right)\bar{a}-\left( \bar{a}\cdot \nabla \right)\bar{b}+\bar{a}\left( \nabla \cdot \bar{b} \right)-\bar{b}\left( \nabla \cdot \bar{a} \right)</math> | |||
mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{a}=\frac{{\bar{m}}}{{{r}^{3}}} \\ | |||
& \bar{b}=\bar{r} \\ | |||
& \Rightarrow div\bar{a}=-3\frac{\bar{m}\cdot \bar{r}}{{{r}^{5}}} \\ | |||
& div\bar{b}=3 \\ | |||
& \left( \bar{b}\cdot \nabla \right)\bar{a}=-3\frac{\bar{m}\cdot {{r}^{2}}}{{{r}^{5}}} \\ | |||
& \left( \bar{a}\cdot \nabla \right)\bar{b}=\frac{{\bar{m}}}{{{r}^{3}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld: | |||
<math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math> | |||
<u>'''Beispiel: Ebene Leiterschleife L:'''</u> | |||
<math>\begin{align} | |||
& d\bar{f}\acute{\ }=\frac{1}{2}\bar{r}\acute{\ }\times d\bar{s}\acute{\ } \\ | |||
& {{d}^{3}}\bar{r}\acute{\ }j(\bar{r}\acute{\ })=d\bar{s}\acute{\ }I \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Mit I = Strom durch den Leiter | |||
<math>\Rightarrow \bar{m}=\frac{1}{2}\oint\limits_{L}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)=\frac{I}{2}\oint\limits_{L}{{}}\bar{r}\acute{\ }\times d\bar{s}\acute{\ }=I\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }=IF\bar{n}</math> | |||
Dabei ist | |||
<math>\bar{n}</math> | |||
die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F | |||
Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment | |||
<math>\bar{m}</math> | |||
analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment | |||
<math>\bar{p}=q\bar{a}</math> | |||
, welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt. | |||
<u>'''Bewegte Ladungen'''</u> | |||
N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich. | |||
Dabei sei die spezifische Ladung | |||
<math>\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m}</math> | |||
konstant: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \rho (\bar{r})=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\ | |||
& \bar{j}(\bar{r})=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}{{{\bar{v}}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\ | |||
& {{{\bar{v}}}_{i}}=\frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}}{dt} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Das magnetische Dipolmoment beträgt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{m}=\frac{1}{2}\oint\limits_{L}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\times {{{\bar{v}}}_{i}}\delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{v}}}_{i}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{v}}}_{i}} \\ | |||
& \frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m} \\ | |||
& \Rightarrow \bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Mit dem Bahndrehimpuls | |||
<math>\bar{L}</math> | |||
: | |||
<math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math> | |||
gilt aber auch für starre Körper ! | |||
* Allgemeines Gesetz ! | |||
Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons !!! | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{m}=g\frac{e}{2m}\bar{S} \\ | |||
& g\approx 2 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen ! | |||
'''Kraft auf eine Stromverteilung:''' | |||
<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math> | |||
im Feld einer externen magnetischen Induktion | |||
<math>\bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math> | |||
: | |||
Spürt die Lorentzkraft | |||
<math>\bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math> | |||
Talyorentwicklung liefert: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })=\bar{B}(\bar{r})+\left[ \left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)\nabla \right]\bar{B}(\bar{r})+.... \\ | |||
& \Rightarrow \bar{F}=\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)\nabla \right]\bar{B}(\bar{r})+... \\ | |||
\end{align}</math> | |||
im stationären Fall gilt wieder: | |||
<math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math> | |||
( keine Monopole) | |||
Also: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r}) \\ | |||
& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})=0,da\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0 \\ | |||
& \Rightarrow \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r}) \\ | |||
& \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})={{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]-\bar{r}\acute{\ }\times \left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right] \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Man fordert: | |||
<math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math> | |||
( Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von | |||
<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> | |||
haben: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times {{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right] \\ | |||
& \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times {{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]=-{{\nabla }_{r}}\times \left[ \left( \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]+\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]{{\nabla }_{r}}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0 \\ | |||
& \Rightarrow \bar{F}=-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left[ \left( \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=-{{\nabla }_{r}}\times \left( \bar{m}\times \bar{B}(\bar{r}) \right) \\ | |||
& \bar{F}=-{{\nabla }_{r}}\times \left( \bar{m}\times \bar{B}(\bar{r}) \right)=\left( \bar{m}\cdot {{\nabla }_{r}} \right)\bar{B}(\bar{r})=-{{\nabla }_{r}}\left( -\bar{m}\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
( Vergl. S. 34) |