Editing Störungen integrabler Systeme

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|5|3}}</noinclude>

 ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen


:<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
und der Winkelvariablen
:<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>
, Hamiltonfunktion
:<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>


Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke
:<math>\varepsilon </math>
:


:<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>


In diesem Fall ist
:<math>\theta </math>
nicht mehr zyklisch.
:<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
ist also keine Bewegungskonstante mehr !

====Beispiel:====
Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

* integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen  ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
* Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten  Masse jedoch noch stabil ?

* Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

* Stabilitätsaussagen

<u>'''Voraussetzung:'''</u>

Die Frequenzen des integrablen Systems
:<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>
 sind rational unabhängig, also:


:<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math>


Dann überdeckt jede Bahn für festes
:<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math>
den Torus
:<math>{{T}^{f}}</math>
dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

'''ERGODISCHE Bewegung '''( nichtresonanter Torus)

====KAM- Theorem====

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt


:<math>\left| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right|\ge \gamma {{\left| {\bar{r}} \right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math>


So hat das gestörte System
:<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>
für kleine
:<math>\varepsilon </math>
überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von
:<math>{{H}_{0}}</math>
werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

<u>'''Anwendung:'''</u>

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

* störungstheoretische Entwicklung in
:<math>\varepsilon </math>

* Mittelung über die Störungen

[[Kategorie:Mechanik]]