Editing Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|3}}</noinclude>
Für <math>\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}</math>als Lösung der kräftefreien Schrödingergleichung gilt:

:<math>\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi (\bar{r},t)=\hbar \bar{k}\Psi (\bar{r},t)=\bar{p}\Psi (\bar{r},t)</math>

Mit <math>\bar{p}</math>, dem Impuls des Elektrons nach De Broglie

Im kräftefreien Zustand <math>\Psi </math>erhält man also den Meßwert des Impulses <math>\bar{p}</math>durch die Anwendung des Impulsoperators <math>\frac{\hbar }{i}\nabla </math>auf die Wellenfunktion

Die Gleichung <math>\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi (\bar{r},t)=\hbar \bar{k}\Psi (\bar{r},t)=\bar{p}\Psi (\bar{r},t)</math>ist eine Eigenwertgleichung des Impulsoperators:

:<math>\hat{\bar{p}}\Psi (\bar{r},t)=\bar{p}\Psi (\bar{r},t)</math>

Somit sehen wir im quantenmechanischen Formalismus folgende Zusammenhänge:

* Zusand → beschrieben durch Wellenfunktion Psi ( beschreibt den Zustand vollständig)
* Observable → Beispiel: Impulsoperator <math>\frac{\hbar }{i}\nabla </math>
* Meßwert: → Eigenwert eines Operators, beim Impuls: <math>\hbar \bar{k}=\bar{p}\quad \in {{R}^{3}}!</math>
* Mittelwert vieler Messungen → Erwartungswert: <math>\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\hat{\bar{p}}\Psi {{d}^{3}}r</math>
* Für einen Impuls- Eigenzustand: <math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\hat{\bar{p}}\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\bar{p}\Psi {{d}^{3}}r=\bar{p}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\Psi {{d}^{3}}r=\bar{p}</math>
<u>'''Bemerkung:'''</u>

Klassische Mechanik: Der Impuls ist Erhaltungsgröße, falls keine äußeren Kräfte wirken

Quantenmechanik: Der Impuls-<u>Eigenzustand </u><math>\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}</math>ist lediglich Lösung der FREIEN Schrödingergleichung

<u>'''Operator der Energie/ Hamiltonoperator'''</u>

Kinetische Energie: <math>T=\frac{1}{2m}{{p}^{2}}\to \frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla  \right)}^{2}}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta =:\hat{H}</math>

Da die Energie erhalten bleibt gewinnt man eine stationäre Schrödingergleichung:

:<math>\hat{H}\Psi =E\Psi </math>

Die Bewegung des Zustandes wird wieder durch die Schrödingergleichung beschrieben:

:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\hat{H}\Psi </math>

Diese ist jedoch die kräftefreie Schrödingergleichung.

Dies kann auf äußere Potenziale verallgemeinert werden: Wir ziehen die Analogie

Hamiltonfunktion --à Hamiltonoperator:

:<math>H(\bar{p},\bar{q})=T+V=\frac{1}{2m}{{p}^{2}}+V(\bar{q})\to \hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla  \right)}^{2}}+V(\hat{\bar{r}})=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\hat{\bar{r}})</math>

Die verallgemeinerte Koordinate q wird dabei durch den Orts- OPERATOR ersetzt .

also folgt:

:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)=\hat{H}\Psi (\bar{r},t)=\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\hat{\bar{r}}) \right)\Psi (\bar{r},t)</math>

Dies ist die Schrödinger-  Gleichung, ein Postulat, durch einen Analogieschluss motiviert.

====Vielelektronensysteme:====
Die klassische Hamiltonfunktion für ein System N gleicher Teilchen mit den Koordinaten

:<math>{{\bar{q}}_{1}},...,{{\bar{q}}_{N}}</math>und den Impulsen <math>{{\bar{p}}_{1}},...,{{\bar{p}}_{N}}</math>lautet:

:<math>H(\bar{p},\bar{q})=T+V=\sum\limits_{i}{{}}\left( \frac{1}{2m}{{p}_{i}}^{2}+V({{{\bar{q}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}^{{}}{W({{{\bar{q}}}_{i}}-{{{\bar{q}}}_{j}})}</math>

W sei dabei der Wechselwirkungsoperator ( noch unbekannt), so dass wir den Hamilton- Operator angeben können:

:<math>\hat{H}=\sum\limits_{i}{{}}\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\Delta }_{i}}+V({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}^{{}}{W({{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}})}</math>

Es ergibt sich die Schrödingergleichung:

:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\hat{H}\Psi </math>, deren Eigenfunktionen die Vielteilchenwellenfunktionen

:<math>\Psi ({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}},t)</math>sind.

Die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t das Elektron i=1 in d³r1,....usw... und das Elektron i=N in d³rN anzutreffen lautet:

:<math>{{\left| \Psi ({{{\bar{r}}}_{1}},...,{{{\bar{r}}}_{N}},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}{{r}_{1}}...{{d}^{3}}{{r}_{N}}</math>
Also wird damit ein Gleichzeitiges Ereignis aller Elektronen beschrieben:
:<math>i=1</math>an <math>{{\bar{r}}_{1}}</math>....
:<math>i=N</math>an <math>{{\bar{r}}_{N}}</math>
Dabei wird jedoch die Ununterscheidbarkeit zunächst noch nicht berücksichtigt.
'''Merke:'''
:<math>{{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}</math> ist eine Funktion, die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen über dem Ort anzutreffen, an best. orten anzutreffen. Es macht keinen Sinn, davon zu reden, wie große die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen am Ort <math>\bar{r}</math>anzutreffen. Diese Wahrscheinlichkeit ist immer NULL !!!
====Das Elektron im elektromagnetischen Feld====

Die Klassische Lagrangefunktion lautet: <math>L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)=T-V=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}+e\left[ \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A}(\bar{q},t)-\Phi (\bar{q},t) \right]</math>
Das elektrische Feld lautet:
:<math>\bar{E}=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\dot{\bar{A}}(\bar{q},t)</math> elektrisches Feld mit dem skalaren Potenzial <math>\Phi (\bar{q},t)</math>
Das magnetische :
:<math>\bar{B}=\nabla x\bar{A}(\bar{q},t)</math>magnetische Induktion mit dem Vektorpotenzial <math>\bar{A}(\bar{q},t)</math>
und mit der Ladung e<0 im mks- System ! ( SI- Einheiten)
Die klassische Hamiltonfunktion finden wir über die kanonisch konjugierten Impulse:
:<math>\begin{align}
& {{p}_{i}}=\frac{\partial L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=m{{{\dot{q}}}_{i}}+e{{A}_{i}}(\bar{q},t) \\
& \Leftrightarrow \dot{\bar{q}}=\frac{1}{m}\left( \bar{p}-e\bar{A} \right) \\
\end{align}</math>
Dabei bezeichnet <math>\bar{p}-e\bar{A}</math>den kinetischen Impuls. <math>\bar{p}</math>ist der kanonische Impuls ( eine zum Ort kanonisch konjugierte Variable, kanonisch konjugiert <→ erfüllt Poissonklammerformalismus → ist für den Hamiltonformalismus geeignet !)

Es ergibt sich die klassische Hamiltonfunktion:
:<math>H(\bar{p},\bar{q})=\bar{p}\dot{\bar{q}}-L=T+V=\left( m\dot{\bar{q}}+e\bar{A} \right)\dot{\bar{q}}-\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}-e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}-\Phi  \right)=\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}+e\Phi =\frac{1}{2m}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+e\Phi </math>Also können wir auch hier analog den Hamiltonoperator finden:
:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+e\Phi (\hat{\bar{r}},t)=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+e\Phi (\hat{\bar{r}},t)</math>
Wir identifizieren:
:<math>e\Phi (\hat{\bar{r}},t)=V(\bar{r},t)</math>
Dies ist ein schönes Ergebnis, weil eben, wie in der klassischen Hamiltonfunktion die Kräfte als Gradienten der Potenziale folgen:
:<math>\begin{align}
& {{{\bar{F}}}_{el.}}=-e\nabla \Phi (\hat{\bar{r}},t) \\
& {{{\bar{F}}}_{mag.}}(Lorentz)=q\bar{v}\times \bar{B} \\
\end{align}</math>
Diese Gleichung gilt natürlich nur für nichtrelativistische Elektronen,. Die Potenziale <math>\Phi ,\bar{A}</math>werden von außen vorgegeben. und sind nicht quantisiert
====Eichtransformation:====
:<math>\begin{align}
& \bar{A}\acute{\ }(\bar{r},t)=\bar{A}(\bar{r},t)+\nabla G(\bar{r},t) \\
& \Phi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Phi (\bar{r},t)-\dot{G}(\bar{r},t) \\
\end{align}</math>
Dies ist eine zulässige Umeichung mit einer beliebigen , zweifach stetig diffbaren Funktion <math>G(\bar{r},t)</math>
Durch Einsetzen in
:<math>\bar{E}=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\dot{\bar{A}}(\bar{q},t)</math>
:<math>\bar{B}=\nabla x\bar{A}(\bar{q},t)</math>
zeigt sich
:<math>\bar{E}=\bar{E}\acute{\ }</math>
:<math>\bar{B}=\bar{B}\acute{\ }</math>
Jedoch muss die Wellenfunktion auch umgeeicht werden:
:<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}</math>
Die Beschränkung der Eichung auf Phasenfaktoren geschieht wegen der Eichinvarianz der Wahrscheinlichkeitsdichte:
:<math>{{\left| \Psi \acute{\ }(\bar{r},t) \right|}^{2}}={{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}</math>
'''Beweis:'''
'''Zeige: '''<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi \acute{\ }=\hat{H}\acute{\ }\Psi \acute{\ }\to i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\hat{H}\Psi </math>
# <math>\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\frac{\hbar }{i}\nabla \left\{ \Psi (\bar{r},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}} \right\}={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}\left\{ \frac{\hbar }{i}\nabla \Psi (\bar{r},t)+e(\nabla G(\bar{r},t))\Psi (\bar{r},t) \right\}</math>
# <math>\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}\acute{\ } \right)\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}\left\{ \frac{\hbar }{i}\nabla -e(\bar{A}\acute{\ }-\nabla G(\bar{r},t)) \right\}\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}\left\{ \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right\}\Psi (\bar{r},t)</math>
# <math>{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}\acute{\ } \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}{{\left\{ \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right\}}^{2}}\Psi (\bar{r},t)</math>
# <math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}\acute{\ } \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)+e\Phi \acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}{{\left\{ \frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)+e\Phi -e\dot{G}(\bar{r},t) \right\}}^{2}}\Psi (\bar{r},t)</math>
dabei:
:<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}\acute{\ } \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)+e\Phi \acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\hat{H}\acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)</math>
:<math>\left( \frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)+e\Phi  \right)\Psi (\bar{r},t)=\hat{H}\Psi (\bar{r},t)</math>
Schritt 4 repräsentiert die linke Seite der Schrödingergleichung. Gleichzeitig:
# <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\{ \Psi (\bar{r},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}} \right\}={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}\left\{ i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)+e\dot{G}\Psi (\bar{r},t) \right\}</math>
Da Gleichung4) und 5) gleich sein müssen folgt als Bedingung
:<math>\hat{H}\Psi (\bar{r},t)=i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)</math>
Was ja gerade die nicht umgeeichte Schrödingergleichung ist.
Fazit: Die Schrödingergleichung ist eichinvariant, falls die Wellenfunktion gemäß <math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}</math>umgeeicht wird.
====Aharanov- Bohm- Effekt====

Zunächst werde ein Magnetfeld <math>\bar{B}(\bar{r})</math>im Inneren einer  langen Spule erzeugt.
Außerhalb der Spule sei B=0

Die Spule werde von einem zeitlich konstanten Strom durchflossen, so dass <math>\bar{B}(\bar{r})</math>zeitunabhängig wird.
Außerhalb der Spule ist B=0, jedoch muss das Vektorpotenzial nicht notwendigerweise verschwinden. Es darf nur keine Wirbel aufweisen.
Außerhalb der Spule gilt:

:<math>\begin{align}
& \bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0 \\
& \Rightarrow \bar{A}=\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\
\end{align}</math>
Das Vektorpotenzial muss sich als Gradient eines skalaren Feldes darstellen lassen ( im Außenraum).
Betrachten wir den Bereich <math>\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0</math>
Wir können das magnetostatische Potenzial <math>\Lambda (\bar{r})</math>retour aus dem Vektorpotenzial gewinnen:
:<math>\begin{align}
& \Lambda (\bar{r})=\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}} \\
& \Rightarrow \nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\
\end{align}</math>
Wegen <math>\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0</math>ist das System integrabel → Lösbar durch Integration !
Für einen beliebigen Weg innerhalb des einfach zusammenhängenden Gebietes mit <math>\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0</math>
Unsere Wellenfunktion gehorcht der Gleichung:
:<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+e\Phi \Psi (\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)</math>
Wir führen die Eichtransformation durch:
:<math>\bar{A}\acute{\ }=\bar{A}-\nabla \Lambda (\bar{r}):=\bar{A}+\nabla G(\bar{r})=0</math>
Wie oben gezeigt wurde, gehorcht nun die Wellenfunktion
:<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\Lambda (\bar{r},t)}}</math>
der Gleichung <math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla  \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)+e\Phi \acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)</math>
Ansatz: Umeichung der Wellenfunktion bei der Eichtransformation der Potenziale !

Also:
:<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math>

Der Phasenterm ist also wegabhängig ! Es kommt zu Interferenzen !
Dabei gilt:
:<math>\Psi (\bar{r},t):\bar{A}\ne 0</math>

und für
:<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t):\bar{A}\acute{\ }=0</math>
====Elektroneninterferenzexperiment:====
Neben der geschilderten Spule führe man ein Elektroneninterferenzexperiment durch:
Das Elektron bewegt sich dabei nur in Gebieten  mit B=0 ( die Spule ist durch einen unendlich hohen Potenzialwall abgeschirmt).
Falls nur Spalt 1 offen ist, so gilt:
:<math>{{\Psi }_{1}}({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math>
Falls nur Spalt 2, so gilt:
:<math>{{\Psi }_{2}}({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math>
Mit<math>\begin{align}
& {{\Psi }_{i}}({{{\bar{r}}}_{s}})\to \bar{A}\ne 0 \\
& {{\Psi }_{2}}\acute{\ }\to \bar{A}\acute{\ }=0 \\
\end{align}</math>
Sind beide Spalte offen:
:<math>\Psi ({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}({{\bar{r}}_{s}})+{{\Psi }_{2}}({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math>
Es gilt:
:<math>\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}-\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}=\oint\limits_{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}=\int\limits_{{}}^{{}}{d\bar{f}\ rot\bar{A}}=\int\limits_{{}}^{{}}{\bar{B}d\bar{f}={{\Phi }_{B}}}</math>
Dies ist der EINGESCHLOSSENE magnetische Fluss, also der magnetische Fluss innerhalb der Spule.
Damit folgt:
:<math>\Psi ({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }{{\Phi }_{B}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math>
Denn:
:<math>\begin{align}
& \Psi ({{{\bar{r}}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \\
& =\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\oint\limits_{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{{}}^{{}}{d\bar{f}\ rot\bar{A}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \\
& =\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{{}}^{{}}{\bar{B}d\bar{f}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }{{\Phi }_{B}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \\
\end{align}</math>
Das bedeutet, die relative Phase zwischen <math>{{\Psi }_{1}}</math>und <math>{{\Psi }_{2}}</math>und damit auch das Interferenzbild ändert sich, wenn sich der eingeschlossene magnetische Fluss <math>\int\limits_{{}}^{{}}{\bar{B}d\bar{f}={{\Phi }_{B}}}</math>verschiebt, obgleich die Elektronenwellen ausschließlich im FELDFREIEN Gebiet <math>\bar{B}=0</math> verlaufen:
:<math>{{\left| \Psi ({{{\bar{r}}}_{s}}) \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{1}}\acute{\ } \right|}^{2}}+{{\left| {{\Psi }_{2}}\acute{\ } \right|}^{2}}+2\operatorname{Re}\left[ {{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{\Psi }_{2}}\acute{\ }*{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }{{\Phi }_{B}}}} \right]</math>
====Flußquantisierung in Supraleitern====
bei T<Tc  ( kritische = Sprungtemperatur) werden viele Materialien supraleitend.
Die Elektronen bilden Cooper- Paare ( Ladung 2e).
Meißner- Effekt: Magnetfeld wird aus dem Supraleiter verdrängt ( Supraleiter 1. Art)
Betrachten wir einen supraleitenden Hohlzylinder:
Die Wellenfunktion der Cooperpaare ( eines Cooperpaares) lautet:
:<math>\Psi (\bar{r})=\Psi \acute{\ }(\bar{r}){{e}^{i\frac{2e}{\hbar }\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math>

Das heißt für <math>{{\bar{r}}_{0}}=\bar{r}\Rightarrow \Psi (\bar{r})=\Psi \acute{\ }(\bar{r})</math>
Für einen geschlossenen Weg um den Zylinder gilt:
:<math>\Psi ({{\bar{r}}_{0}})=\Psi \acute{\ }({{\bar{r}}_{0}}){{e}^{i\frac{2e}{\hbar }\oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\Psi \acute{\ }({{\bar{r}}_{0}})</math>
Wegen der Eindeutigkeit der Wellenfunktion folgt daraus aber:
:<math>\begin{align}
& \frac{2e}{\hbar }\oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}=2\pi n \\
& \oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}={{\Phi }_{B}} \\
\end{align}</math>  ( Die Wellenfunktion muss sich schließen !)
Also ist der eingeschlossene Fluß quantisiert !:
:<math>{{\Phi }_{B}}=n{{\Phi }_{0}}</math>
mit dem magnetischen Flußquantum
:<math>{{\Phi }_{0}}:=\frac{\hbar \pi }{e}=\frac{h}{2e}=2,07\cdot {{10}^{-15}}Vs</math>

Also:
Wir haben zwei Beispiele für beobachtbare Folgen aus der Invarianz:
# Aharanov- Bohm - Effekt
# Flussquantisierung in Supraleitern !