Editing Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen
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Somit sehen wir im quantenmechanischen Formalismus folgende Zusammenhänge: | Somit sehen wir im quantenmechanischen Formalismus folgende Zusammenhänge: | ||
* Zusand | * Zusand -> beschrieben durch Wellenfunktion Psi ( beschreibt den Zustand vollständig) | ||
* Observable | * Observable -> Beispiel: Impulsoperator <math>\frac{\hbar }{i}\nabla </math> | ||
* Meßwert: | * Meßwert: -> Eigenwert eines Operators, beim Impuls: <math>\hbar \bar{k}=\bar{p}\quad \in {{R}^{3}}!</math> | ||
* Mittelwert vieler Messungen | * Mittelwert vieler Messungen -> Erwartungswert: <math>\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\hat{\bar{p}}\Psi {{d}^{3}}r</math> | ||
* Für einen Impuls- Eigenzustand: <math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\hat{\bar{p}}\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\bar{p}\Psi {{d}^{3}}r=\bar{p}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\Psi {{d}^{3}}r=\bar{p}</math> | * Für einen Impuls- Eigenzustand: <math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\hat{\bar{p}}\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\bar{p}\Psi {{d}^{3}}r=\bar{p}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\Psi {{d}^{3}}r=\bar{p}</math> | ||
<u>'''Bemerkung:'''</u> | <u>'''Bemerkung:'''</u> | ||
Line 41: | Line 41: | ||
Dies kann auf äußere Potenziale verallgemeinert werden: Wir ziehen die Analogie | Dies kann auf äußere Potenziale verallgemeinert werden: Wir ziehen die Analogie | ||
Hamiltonfunktion -- Hamiltonoperator: | |||
:<math>H(\bar{p},\bar{q})=T+V=\frac{1}{2m}{{p}^{2}}+V(\bar{q})\to \hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)}^{2}}+V(\hat{\bar{r}})=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\hat{\bar{r}})</math> | :<math>H(\bar{p},\bar{q})=T+V=\frac{1}{2m}{{p}^{2}}+V(\bar{q})\to \hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)}^{2}}+V(\hat{\bar{r}})=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\hat{\bar{r}})</math> | ||
Die verallgemeinerte Koordinate q wird dabei durch den Orts- OPERATOR ersetzt. | Die verallgemeinerte Koordinate q wird dabei durch den Orts- OPERATOR ersetzt . | ||
also folgt: | also folgt: | ||
Line 60: | Line 60: | ||
:<math>H(\bar{p},\bar{q})=T+V=\sum\limits_{i}{{}}\left( \frac{1}{2m}{{p}_{i}}^{2}+V({{{\bar{q}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}^{{}}{W({{{\bar{q}}}_{i}}-{{{\bar{q}}}_{j}})}</math> | :<math>H(\bar{p},\bar{q})=T+V=\sum\limits_{i}{{}}\left( \frac{1}{2m}{{p}_{i}}^{2}+V({{{\bar{q}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}^{{}}{W({{{\bar{q}}}_{i}}-{{{\bar{q}}}_{j}})}</math> | ||
W sei dabei der Wechselwirkungsoperator (noch unbekannt), so dass wir den Hamilton- Operator angeben können: | W sei dabei der Wechselwirkungsoperator ( noch unbekannt), so dass wir den Hamilton- Operator angeben können: | ||
:<math>\hat{H}=\sum\limits_{i}{{}}\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\Delta }_{i}}+V({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}^{{}}{W({{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}})}</math> | :<math>\hat{H}=\sum\limits_{i}{{}}\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\Delta }_{i}}+V({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}^{{}}{W({{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}})}</math> | ||
Line 78: | Line 78: | ||
Dabei wird jedoch die Ununterscheidbarkeit zunächst noch nicht berücksichtigt. | Dabei wird jedoch die Ununterscheidbarkeit zunächst noch nicht berücksichtigt. | ||
'''Merke:''' | '''Merke:''' | ||
:<math>{{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}</math> ist eine Funktion, die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen über dem Ort anzutreffen, an best. orten anzutreffen. Es macht keinen Sinn, davon zu reden, wie große die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen am Ort <math>\bar{r}</math>anzutreffen. Diese Wahrscheinlichkeit ist immer NULL!!! | :<math>{{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}</math> ist eine Funktion, die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen über dem Ort anzutreffen, an best. orten anzutreffen. Es macht keinen Sinn, davon zu reden, wie große die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen am Ort <math>\bar{r}</math>anzutreffen. Diese Wahrscheinlichkeit ist immer NULL !!! | ||
====Das Elektron im elektromagnetischen Feld==== | ====Das Elektron im elektromagnetischen Feld==== | ||
Line 86: | Line 86: | ||
Das magnetische : | Das magnetische : | ||
:<math>\bar{B}=\nabla x\bar{A}(\bar{q},t)</math>magnetische Induktion mit dem Vektorpotenzial <math>\bar{A}(\bar{q},t)</math> | :<math>\bar{B}=\nabla x\bar{A}(\bar{q},t)</math>magnetische Induktion mit dem Vektorpotenzial <math>\bar{A}(\bar{q},t)</math> | ||
und mit der Ladung e<0 im mks- System! (SI- Einheiten) | und mit der Ladung e<0 im mks- System ! ( SI- Einheiten) | ||
Die klassische Hamiltonfunktion finden wir über die kanonisch konjugierten Impulse: | Die klassische Hamiltonfunktion finden wir über die kanonisch konjugierten Impulse: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 92: | Line 92: | ||
& \Leftrightarrow \dot{\bar{q}}=\frac{1}{m}\left( \bar{p}-e\bar{A} \right) \\ | & \Leftrightarrow \dot{\bar{q}}=\frac{1}{m}\left( \bar{p}-e\bar{A} \right) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dabei bezeichnet <math>\bar{p}-e\bar{A}</math>den kinetischen Impuls. <math>\bar{p}</math>ist der kanonische Impuls (eine zum Ort kanonisch konjugierte Variable, kanonisch konjugiert | Dabei bezeichnet <math>\bar{p}-e\bar{A}</math>den kinetischen Impuls. <math>\bar{p}</math>ist der kanonische Impuls ( eine zum Ort kanonisch konjugierte Variable, kanonisch konjugiert <-> erfüllt Poissonklammerformalismus -> ist für den Hamiltonformalismus geeignet !) | ||
Es ergibt sich die klassische Hamiltonfunktion: | Es ergibt sich die klassische Hamiltonfunktion: | ||
Line 110: | Line 110: | ||
& \Phi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Phi (\bar{r},t)-\dot{G}(\bar{r},t) \\ | & \Phi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Phi (\bar{r},t)-\dot{G}(\bar{r},t) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dies ist eine zulässige Umeichung mit einer beliebigen, zweifach stetig diffbaren Funktion <math>G(\bar{r},t)</math> | Dies ist eine zulässige Umeichung mit einer beliebigen , zweifach stetig diffbaren Funktion <math>G(\bar{r},t)</math> | ||
Durch Einsetzen in | Durch Einsetzen in | ||
:<math>\bar{E}=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\dot{\bar{A}}(\bar{q},t)</math> | :<math>\bar{E}=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\dot{\bar{A}}(\bar{q},t)</math> | ||
Line 149: | Line 149: | ||
& \Rightarrow \bar{A}=\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\ | & \Rightarrow \bar{A}=\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Das Vektorpotenzial muss sich als Gradient eines skalaren Feldes darstellen lassen (im Außenraum). | Das Vektorpotenzial muss sich als Gradient eines skalaren Feldes darstellen lassen ( im Außenraum). | ||
Betrachten wir den Bereich <math>\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0</math> | Betrachten wir den Bereich <math>\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0</math> | ||
Wir können das magnetostatische Potenzial <math>\Lambda (\bar{r})</math>retour aus dem Vektorpotenzial gewinnen: | Wir können das magnetostatische Potenzial <math>\Lambda (\bar{r})</math>retour aus dem Vektorpotenzial gewinnen: | ||
Line 156: | Line 156: | ||
& \Rightarrow \nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\ | & \Rightarrow \nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Wegen <math>\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0</math>ist das System integrabel | Wegen <math>\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0</math>ist das System integrabel -> Lösbar durch Integration ! | ||
Für einen beliebigen Weg innerhalb des einfach zusammenhängenden Gebietes mit <math>\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0</math> | Für einen beliebigen Weg innerhalb des einfach zusammenhängenden Gebietes mit <math>\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0</math> | ||
Unsere Wellenfunktion gehorcht der Gleichung: | Unsere Wellenfunktion gehorcht der Gleichung: | ||
Line 165: | Line 165: | ||
:<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\Lambda (\bar{r},t)}}</math> | :<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\Lambda (\bar{r},t)}}</math> | ||
der Gleichung <math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)+e\Phi \acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)</math> | der Gleichung <math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)+e\Phi \acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)</math> | ||
Ansatz: Umeichung der Wellenfunktion bei der Eichtransformation der Potenziale! | Ansatz: Umeichung der Wellenfunktion bei der Eichtransformation der Potenziale ! | ||
Also: | Also: | ||
:<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math> | :<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math> | ||
Der Phasenterm ist also wegabhängig! Es kommt zu Interferenzen! | Der Phasenterm ist also wegabhängig ! Es kommt zu Interferenzen ! | ||
Dabei gilt: | Dabei gilt: | ||
:<math>\Psi (\bar{r},t):\bar{A}\ne 0</math> | :<math>\Psi (\bar{r},t):\bar{A}\ne 0</math> | ||
Line 178: | Line 178: | ||
====Elektroneninterferenzexperiment:==== | ====Elektroneninterferenzexperiment:==== | ||
Neben der geschilderten Spule führe man ein Elektroneninterferenzexperiment durch: | Neben der geschilderten Spule führe man ein Elektroneninterferenzexperiment durch: | ||
Das Elektron bewegt sich dabei nur in Gebieten mit B=0 (die Spule ist durch einen unendlich hohen Potenzialwall abgeschirmt). | Das Elektron bewegt sich dabei nur in Gebieten mit B=0 ( die Spule ist durch einen unendlich hohen Potenzialwall abgeschirmt). | ||
Falls nur Spalt 1 offen ist, so gilt: | Falls nur Spalt 1 offen ist, so gilt: | ||
:<math>{{\Psi }_{1}}({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math> | :<math>{{\Psi }_{1}}({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math> | ||
Line 203: | Line 203: | ||
:<math>{{\left| \Psi ({{{\bar{r}}}_{s}}) \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{1}}\acute{\ } \right|}^{2}}+{{\left| {{\Psi }_{2}}\acute{\ } \right|}^{2}}+2\operatorname{Re}\left[ {{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{\Psi }_{2}}\acute{\ }*{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }{{\Phi }_{B}}}} \right]</math> | :<math>{{\left| \Psi ({{{\bar{r}}}_{s}}) \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{1}}\acute{\ } \right|}^{2}}+{{\left| {{\Psi }_{2}}\acute{\ } \right|}^{2}}+2\operatorname{Re}\left[ {{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{\Psi }_{2}}\acute{\ }*{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }{{\Phi }_{B}}}} \right]</math> | ||
====Flußquantisierung in Supraleitern==== | ====Flußquantisierung in Supraleitern==== | ||
bei T<Tc (kritische = Sprungtemperatur) werden viele Materialien supraleitend. | bei T<Tc ( kritische = Sprungtemperatur) werden viele Materialien supraleitend. | ||
Die Elektronen bilden Cooper- Paare (Ladung 2e). | Die Elektronen bilden Cooper- Paare ( Ladung 2e). | ||
Meißner- Effekt: Magnetfeld wird aus dem Supraleiter verdrängt (Supraleiter 1. Art) | Meißner- Effekt: Magnetfeld wird aus dem Supraleiter verdrängt ( Supraleiter 1. Art) | ||
Betrachten wir einen supraleitenden Hohlzylinder: | Betrachten wir einen supraleitenden Hohlzylinder: | ||
Die Wellenfunktion der Cooperpaare (eines Cooperpaares) lautet: | Die Wellenfunktion der Cooperpaare ( eines Cooperpaares) lautet: | ||
:<math>\Psi (\bar{r})=\Psi \acute{\ }(\bar{r}){{e}^{i\frac{2e}{\hbar }\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math> | :<math>\Psi (\bar{r})=\Psi \acute{\ }(\bar{r}){{e}^{i\frac{2e}{\hbar }\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math> | ||
Line 217: | Line 217: | ||
& \frac{2e}{\hbar }\oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}=2\pi n \\ | & \frac{2e}{\hbar }\oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}=2\pi n \\ | ||
& \oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}={{\Phi }_{B}} \\ | & \oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}={{\Phi }_{B}} \\ | ||
\end{align}</math> (Die Wellenfunktion muss sich schließen!) | \end{align}</math> ( Die Wellenfunktion muss sich schließen !) | ||
Also ist der eingeschlossene Fluß quantisiert!: | Also ist der eingeschlossene Fluß quantisiert !: | ||
:<math>{{\Phi }_{B}}=n{{\Phi }_{0}}</math> | :<math>{{\Phi }_{B}}=n{{\Phi }_{0}}</math> | ||
mit dem magnetischen Flußquantum | mit dem magnetischen Flußquantum | ||
Line 226: | Line 226: | ||
Wir haben zwei Beispiele für beobachtbare Folgen aus der Invarianz: | Wir haben zwei Beispiele für beobachtbare Folgen aus der Invarianz: | ||
# Aharanov- Bohm - Effekt | # Aharanov- Bohm - Effekt | ||
# Flussquantisierung in Supraleitern! | # Flussquantisierung in Supraleitern ! |