Editing Schallausbreitung im Festkörper

Bei der Ausbreitung von Schall in einem Festkörper hängt die Schwingfrequenz <math>\omega</math> der Atome vom Betrag des {{FB|Wellenvektor}}s k ab. Der Zusammenhang wird durch die {{FB|Gruppengeschwindigkeit}} der {{FB|Dispersionsbeziehung}}
:<math>\omega (k) =2\sqrt{\frac{K}{M}} \left| \sin\left(\frac{1}{2} k a\right) \right| </math>
beschrieben, wobei K die effektive Federkonstante der Bindung zwischen den Atomen, M ihre Masse und a ihr Abstand sind.
a)	Welchen Wert hat die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper mit <math>K = 7 kg/s^2, M = 4*10^{-26}kg, a = 5*10^{-10} m</math>, wenn die Wellenlänge sehr viel größer als der Atomabstand a ist?
{{Lösung|1=Nach {{PhIngGl|Seite73}} ist die Gruppengeschwindigkeit die Ableitung von <math>\omega(k)</math> an der Stelle k=Mittelwert(k). Da k<<a ist k*a klein und so wird <math>\cos(k a)\approx 1</math>. Damit folgt dann |Code=N@K = 7; N@M = 4*10^-26; N@a = 5*10^-10;
\[Omega][k_] = 2 Sqrt[K/M]*Sin[1/2 k a]
vGR[k_] = D[\[Omega][k], k]
vGR[0]
N@%|Zahl=6614|Einheit=m/s}}

b)	Nähert sich die Wellenlänge des Schalls dem Wert 2a, kann dieser sich nicht mehr ausbreiten.
Berechnen Sie die Frequenz, mit der die Atome in dem Festkörper in diesem Fall schwingen.
{{Lösung|Code=\[Omega][2 Pi/(2 a)]
N@%|Zahl=2.64575*10^13|Einheit=Hz}}

{{Klausuraufgabe
|KADatum=SS07
|KAAufgabe=4
|KAAbschnitt=MSW
|KAPunkte=6
}}