Editing Retardierte Potenziale

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|4|2}}</noinclude>
<u>'''Aufgabe'''</u>
Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:

:<math>\begin{align}
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

zu vorgegebenen erzeugenden Quellen
:<math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
und Randbedingungen
:<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to 0f\ddot{u}r\quad \bar{r}\to \infty </math>

<u>'''Methode: Greensche Funktion verwenden:'''</u>

:<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)</math>

'''In der Elektrodynamik:'''

:<math>\#u\left( \bar{r},t \right)=-f\left( \bar{r},t \right)</math> mit <math>\begin{align}
& u\left( \bar{r},t \right):=\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& f\left( \bar{r},t \right)=\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}},{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

Fourier- Trafo:

:<math>\begin{align}
& {{{\hat{\#}}}^{-1}}:=-\hat{G} \\
& \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{k},\omega  \right)=\hat{G}\hat{f}\left( \bar{k},\omega  \right) \\
\end{align}</math>

Rück- Trafo:
es folgt schließlich:

:<math>u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math> mit <math>\#G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>

'''Vergleiche: Elektrostatik:'''

:<math>\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>

Fourier- Trafo:

:<math>\begin{align}
& {{\Delta }^{-1}}:=-\hat{G} \\
& \Rightarrow \hat{\Phi }\left( {\bar{k}} \right)=\hat{G}\hat{\rho } \\
& \hat{G}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Rück- Trafo:
es folgt schließlich:

:<math>\Phi \left( {\bar{r}} \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math> mit <math>\begin{align}
& G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
& \Delta G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

'''Kausalitätsbedingung:'''

:<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0</math>

für t<t´

Somit kann

:<math>u\left( \bar{r},t \right)</math>
nur von
:<math>f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
mit t´ < t  beeinflusst werden

<u>'''Fourier- Transformation:'''</u>

:<math>\begin{align}
& f\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}f\left( \bar{r},t \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
\end{align}</math>

Ebenso:

:<math>\begin{align}
& u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega  \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow \#u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega  \right)\#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}=-\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
\end{align}</math>

Aber es gilt:

:<math>\begin{align}
& \#u\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow \left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)\hat{u}\left( \bar{q},\omega  \right)=\hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right) \\
& \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{q},\omega  \right)=\frac{\hat{f}\left( \bar{q},\omega  \right)}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
& \Rightarrow \hat{G}=\frac{1}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
\end{align}</math>

'''Rücktransformation:'''

:<math>\begin{align}
& u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }\left\{ \frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \right\}f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
& \Rightarrow \frac{1}{{{\left( 2\pi  \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.

<u>'''Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration'''</u>

für
:<math>\omega =\pm cq</math>
gibt es Polstellen.
Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:


Der obere Integrationsweg wird durch
:<math>\tau <0</math>
charakterisiert, der untere Integrationsweg durch
:<math>\tau >0</math>.

Dabei:
:<math>\tau =t-t\acute{\ }</math>

'''Das Integral über den Halbkreis:'''

'''Oberer Halbkreis:'''
:<math>\tau <0</math>

:<math>\begin{align}
& \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad 0\le \phi \le \pi  \\
& d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi  \\
& \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
& \sin \phi >0 \\
& \tau <0 \\
& \Rightarrow \begin{matrix}
\lim   \\
R\to \infty   \\
\end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
\end{align}</math>

'''Unterer Halbkreis:'''
:<math>\tau >0</math>

:<math>\begin{align}
& \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad \pi \le \phi \le 2\pi  \\
& d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi  \\
& \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
& \sin \phi <0 \\
& \tau >0 \\
& \Rightarrow \begin{matrix}
\lim   \\
R\to \infty   \\
\end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
\end{align}</math>

Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:

:<math>\Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}</math>

(Residuensatz)

Für
:<math>\tau <0</math>
liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C

:<math>\begin{align}
& \Rightarrow \Gamma (\bar{q},\tau )=0 \\
& \Rightarrow G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0:=G\left( \bar{s},\tau  \right)=0 \\
\end{align}</math>

für t<t´

Dies ist die Kausalitätsbedingung.

Für
:<math>\tau >0</math>
:

:<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=-2\pi i\sum\limits_{\omega =\pm cq}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\frac{1}{{{c}^{2}}}\left( \omega -cq \right)\left( \omega +cq \right)}</math>

Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:

:<math>\oint\limits_{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}sf(z)</math>,


falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen!

:<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}}{2cq}+\frac{{{e}^{icq\tau }}}{-2cq} \right)</math>

:<math>G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}q{{e}^{i\bar{q}\bar{s}}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2iq} \right)</math>

Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:

:<math>\begin{align}
& {{d}^{3}}q={{q}^{2}}dq\sin \vartheta d\vartheta d\phi  \\
& \bar{q}\bar{s}=qs\cos \vartheta  \\
& G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}dqq\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2i} \right)\int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}\int\limits_{0}^{2\pi }{{}}d\phi  \\
& \int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}=\frac{{{e}^{iqs}}-{{e}^{-iqs}}}{iqs} \\
& \xi :=cq \\
& \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{2{{\left( 2\pi  \right)}^{2}}s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ {{e}^{i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}+{{e}^{-i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{-i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }} \right\} \\
& \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{4\pi s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ \delta \left( \tau -\frac{s}{c} \right)-\delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right) \right\} \\
& \delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right)=0\quad f\ddot{u}r\ \tau >0 \\
\end{align}</math>

Also lautet das Ergebnis:

:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })=\left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)  \\
0\quad \quad \quad \quad \quad t<t\acute{\ }  \\
\end{matrix} \right.\ t>t\acute{\ }</math>

Retardierte Greensfunktion (kausal)

<u>'''Physikalische Interpretation'''</u>

:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })</math>
ist das Potenzial
:<math>\Phi (\bar{r},t)</math>,
 das von einer punktförmigen Ladungsdichte

:<math>\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>

am Punkt
:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
zur Zeit t´ erzeugt wird.

'''Die Eigenschaften:'''

* Kausalität
* Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
* <math>\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|=c\left( t-t\acute{\ } \right)</math>
*

'''Nebenbemerkung:'''

Für den Integrationsweg

'''Oberer Halbkreis:'''
:<math>\tau <0</math>

'''Unterer Halbkreis:'''
:<math>\tau >0</math>

erhält man die avancierte Greensfunktion (=0 für t > t´).
Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an
:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
zur zeit t´ zusammenzieht!

Mit

:<math>G(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}f\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>

folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen

:<math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>

:<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
\end{align}</math>

Die retardierten Potenziale
:<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
sind bestimmt durch
:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
zu retardierten Zeiten
:<math>t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}</math>.

Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.