Editing Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6}}

= Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie=

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
* Kugelwellen sind
* -> Lorentz- Invariant, also:
*
* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>
*

Für Lorentz- Transformationen !

<u>'''Formalisierung:'''</u>
<u>'''Der Raumzeitliche Abstand als'''</u>

<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
<math>\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }</math>

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
Dann schreibt man
<math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>
als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der '''linearen orthogonalen '''Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

<u>'''kontravariante Komponenten:'''</u>

<math>\begin{align}
& {{x}^{i}} \\
& {{x}^{1}}:=ct \\
& {{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \\
\end{align}</math>

als Komponenten des Ortsvektors
<math>\bar{r}</math>
:

<u>'''kovariante Komponenten'''</u>

<math>\begin{align}
& {{x}_{i}}: \\
& {{x}_{0}}:=ct \\
& {{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\
\end{align}</math>

kovarianter Vektor
<math>\in \tilde{V}</math>
, dualer Vektorraum zu V !
Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
->
<math>\in \tilde{V}</math>
als Raum der linearen Funktionale l:
<math>V\to R</math>

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !

Schreibe

<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>

Mit: Summenkonvention !
über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !

<u>'''Physikalische Anwendung'''</u>

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
<math>{{a}^{i}}{{a}_{i}}</math>
schreiben !

'''Beispiel: dÁlemebert- Operator:'''

<math>\#=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>

<u>'''Vierergeschwindigkeit'''</u>

<math>\begin{align}
& {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{{\left( ds \right)}^{2}}}=1 \\
& mit \\
& ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}dt}}=\frac{c}{\gamma }dt \\
& \Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma  \\
& {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }} \\
& {{v}^{\alpha }}:=\frac{d{{x}^{\alpha }}}{dt} \\
& \beta :=\frac{v}{c} \\
& \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\
\end{align}</math>

'''Physikalische Interpretation'''

<math>\begin{align}
& {{u}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\
& d\tau =\frac{dt}{\gamma } \\
\end{align}</math>

'''Viererimpuls'''

<math>{{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}</math>
mit der Ruhemasse  m0

Also:

<math>\begin{align}
& {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}} \\
& {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\
& \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\
& {{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c} \\
& {{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }} \\
& {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}} \\
\end{align}</math>

Mit der Energie

<math>E=m(v){{c}^{2}}</math>

'''Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:'''

<math>\begin{align}
& {{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}} \\
& {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\
& {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\
& {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\
\end{align}</math>

<u>'''Der metrische Tensor'''</u>

<math>{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left. \left\{ \begin{matrix}
{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0  \\
-{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3  \\
\end{matrix} \right. \right\}={{g}_{ik}}</math>

<math>{{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & -1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & -1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & -1  \\
\end{matrix} \right)</math>

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}</math>

Wichtig fürs Skalarprodukt:

<math>d{{s}^{2}}={{g}^{ik}}d{{x}_{i}}d{{x}_{k}}={{g}_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}</math>

<u>Lorentz- Trafo</u>

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

<math>\begin{align}
& \left( {{x}^{0}}\begin{matrix}
, & {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
ct, & x, & y, & z  \\
\end{matrix} \right) \\
& d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}} \\
\end{align}</math>

Nämlich:

<math>\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
{{x}_{0}}\acute{\ }  \\
{{x}_{1}}\acute{\ }  \\
{{x}_{2}}\acute{\ }  \\
{{x}_{3}}\acute{\ }  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
{{x}_{0}}  \\
{{x}_{1}}  \\
{{x}_{2}}  \\
{{x}_{3}}  \\
\end{matrix} \right) \\
& x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\
\end{align}</math>

Mit
<math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)</math>

für
<math>v||{{x}_{1}}</math>

Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

<math>\begin{align}
& {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l} \\
& \Rightarrow a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\
\end{align}</math>

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
Bzw.
Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !

Umkehr- Transformation:

<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>

= Transformationsverhalten der Ströme und Felder=

<u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u>

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!

Historisch gab die  Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !

'''Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:'''

<math>\begin{align}
& div\bar{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {{j}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{j}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{j}_{z}}}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0 \\
& 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum\limits_{\alpha =1}^{3}{{}}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }} \\
\end{align}</math>

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>

in Viererschreibweise.
Die Vierer- Stromdichte ist

<math>\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}</math>
ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte.
Die Kontinuitätsgleichung ist gleich
<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>

'''Forderung:'''
Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !
->

<math>{{j}^{\mu }}=0</math>
muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit  das Skalarprodukt
<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
Lorentz- invariant ist !:

<math>\begin{align}
& {{x}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}} \right)\Leftrightarrow t\acute{\ }=\gamma \left( t-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{x}^{1}} \right) \\
& {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-vt \right) \\
& {{x}^{2}}\acute{\ }={{x}^{2}} \\
& {{x}^{3}}\acute{\ }={{x}^{3}} \\
\end{align}</math>

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

<math>\begin{align}
& {{j}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}} \right)\Leftrightarrow \rho \acute{\ }=\gamma \left( \rho -\frac{v}{{{c}^{2}}}{{j}^{1}} \right) \\
& {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-v\rho  \right) \\
& {{j}^{2}}\acute{\ }={{j}^{2}} \\
& {{j}^{3}}\acute{\ }={{j}^{3}} \\
\end{align}</math>

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo.
Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

<u>'''4- Potenziale:'''</u>

<u>Die </u>Potenziale
<math>\Phi ,\bar{A}</math>
sind in der Lorentz- Eichung
<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
Lösungen von

<math>\begin{align}
& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }} \\
& {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\alpha }} \\
& \alpha =1,2,3 \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& \Delta \phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho  \\
& \#\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
\end{align}</math>

Zusammen:

<math>\begin{align}
& -\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }} \\
& {{\Phi }^{0}}:=\phi  \\
& {{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3 \\
\end{align}</math>

Da
<math>{{j}^{\mu }}</math>
Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch
<math>{{\Phi }^{\mu }}</math>
wie ein Vierervektor transformieren.
Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

<math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}</math>
lorentz- invariant !:

<math>\begin{align}
& {{\Phi }^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}} \right)\quad bzw.\quad \Phi \acute{\ }=\gamma \left( \Phi -v{{A}^{1}} \right) \\
& {{\Phi }^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}} \right)\quad bzw.\quad A{{\acute{\ }}^{1}}=\gamma \left( {{A}^{1}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\Phi  \right),{{A}^{\acute{\ }2}}={{A}^{2}},A{{\acute{\ }}^{3}}={{A}^{3}} \\
\end{align}</math>

Nun: Lorentz- Eichung:

<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>

Lorentz- Eichung <->  Lorentz- Invarianz
<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>

<u>'''Umeichung:'''</u>

<math>\begin{align}
& \tilde{\bar{A}}=\bar{A}+\nabla F \\
& \tilde{\phi }=\phi -\frac{\partial }{\partial t}F \\
& \Leftrightarrow  \\
& c{{{\tilde{A}}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF \\
& {{{\tilde{\Phi }}}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF \\
\end{align}</math>

'''Also:'''

<math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF</math>

'''Felder E und B:'''

<math>\begin{align}
& \bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A} \\
& \Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }} \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
& \Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}} \\
\end{align}</math>

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

<math>\begin{align}
& c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}} \\
& c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}} \\
\end{align}</math>

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

<math>\begin{align}
& \left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0  \\
\end{matrix} \right) \\
& {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & -\frac{1}{c}{{E}_{z}}  \\
\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}}  \\
\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}}  \\
\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0  \\
\end{matrix} \right) \\
& \Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & -{{E}^{1}} & -{{E}^{2}} & -{{E}^{3}}  \\
{{E}^{1}} & 0 & -c{{B}^{3}} & c{{B}^{2}}  \\
{{E}^{2}} & c{{B}^{3}} & 0 & -c{{B}^{1}}  \\
{{E}^{3}} & -c{{B}^{2}} & c{{B}^{1}} & 0  \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Wegen der Antisymmetrie hat
<math>{{F}^{\mu \nu }}</math>
nur 6 unabhängige Komponenten !

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

<math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>

während die Raum- zeit- Komponenten:

<math>\bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}</math>
erfüllen.

<u>'''Lorentz- Trafo der Felder:'''</u>

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation.
Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit
<math>\bar{v}</math>
bewegtes System K´ gilt:

<math>{{F}_{{}}}{{\acute{\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}</math>

<math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)</math>

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder
<math>\bar{E}</math>
und
<math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!

<math>\begin{align}
& E{{\acute{\ }}^{1}}=F{{\acute{\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left( \beta \gamma  \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}= \\
& ={{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right){{F}^{10}}={{E}^{1}} \\
& {{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1 \\
&  \\
& E{{\acute{\ }}^{2}}=F{{\acute{\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
\end{align}</math>

<math>E{{\acute{\ }}^{3}}=F{{\acute{\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right)</math>

<math>\begin{align}
& B{{\acute{\ }}^{1}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{32}}=\frac{1}{c}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{F}^{32}}={{B}^{1}} \\
& B{{\acute{\ }}^{2}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{13}}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-\frac{\beta \gamma }{c}{{F}^{03}}+\frac{\gamma }{c}{{F}^{13}}=\gamma \left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
\end{align}</math>

<math>B{{\acute{\ }}^{3}}=\gamma \left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right)</math>

'''Zusammenfassung'''

<math>\begin{align}
& {{E}^{1}}\acute{\ }={{E}^{1}} \\
& {{E}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
& {{E}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right) \\
& {{B}^{1}}\acute{\ }={{B}^{1}} \\
& {{B}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
& {{B}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right) \\
\end{align}</math>

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !

<u>'''Umeichung:'''</u>

<math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi </math>

Somit:

<math>\begin{align}
& {{{\tilde{F}}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left( {{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi  \right)-{{\partial }^{\nu }}\left( {{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi  \right) \\
& ={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }} \\
\end{align}</math>

<u>'''Homogene Maxwell- Gleichungen'''</u>

<math>\begin{align}
& \nabla \cdot \bar{B}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0 \\
& \Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0 \\
&  \\
\end{align}</math>

Mit

<math>\begin{align}
& {{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}} \\
& {{F}^{32}}=-{{F}^{23}} \\
& \Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0 \\
&  \\
\end{align}</math>

+ zyklisch in (123)

'''innere Feldgleichung für E- Feld'''

<math>\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>

# Komponente

<math>{{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+\frac{\partial }{\partial t}{{B}^{1}}=0</math>

<math>\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0</math>
und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit

<math>{{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}</math>

liefert:

<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013) \\
& \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012) \\
\end{align}</math>

'''Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen'''

<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0</math>

<math>{{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0</math>

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !

'''Levi- Civita- Tensor:'''
'''+1 für gerade Permutation von 0123'''
'''-1 für ungerade Permutation von 0123'''
'''0, sonst'''

'''Bemerkungen'''

# Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).

#
# <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
#  transformiert unter Lorentz- Trafo

<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }} \\
& =\left| \begin{matrix}
{{U}^{\kappa }}_{0} & {{U}^{\kappa }}_{1} & {{U}^{\kappa }}_{2} & {{U}^{\kappa }}_{3}  \\
{{U}^{\lambda }}_{0} & {{U}^{\lambda }}_{1} & {{U}^{\lambda }}_{2} & {{U}^{\lambda }}_{3}  \\
{{U}^{\mu }}_{0} & {{U}^{\mu }}_{1} & {{U}^{\mu }}_{2} & {{U}^{\mu }}_{3}  \\
{{U}^{\nu }}_{0} & {{U}^{\nu }}_{1} & {{U}^{\nu }}_{2} & {{U}^{\nu }}_{3}  \\
\end{matrix} \right|=\left( \det U \right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }} \\
& \left( \det U \right)=\pm 1 \\
\end{align}</math>

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
, muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}</math>

Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !

Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

<math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}</math>

Mit Pseudovektor

<math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}</math>

=Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum=
 ( Erregungsgleichungen)

<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho  \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}c\rho  \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{10}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{20}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{30}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
& wegen{{\partial }_{0}}{{F}^{00}}=0 \\
& auch{{\partial }_{i}}{{F}^{i0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
\end{align}</math>

#
# <math>\nabla \times \bar{B}-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}={{\mu }_{0}}\left( \nabla \times \bar{H}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \right)={{\mu }_{0}}\bar{j}</math>
#

# Komponente

<math>\begin{align}
& {{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{E}^{1}} \\
& {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}-.{{\partial }_{3}}{{F}^{13}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}}+.{{\partial }_{0}}{{F}^{10}} \\
& {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{31}}+{{\partial }_{0}}{{F}^{01}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 1}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
& wegen{{\partial }_{1}}{{F}^{11}}=0 \\
\end{align}</math>

Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

<math>\begin{align}
& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
\end{align}</math>

Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !

'''Bemerkungen'''

# die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

<math>\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0  \\
\end{matrix} \right)</math>

automatisch erfüllt:

<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \\
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0, \\
& da:{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}\quad symmetrisch \\
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}\quad antisymmetrisch \\
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
\end{align}</math>

Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>

folgt mit Lorentz- Eichung

<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>

<math>\begin{align}
& {{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0 \\
& also: \\
\end{align}</math>

<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
als inhomogene Wellengleichung

'''Die Maxwellgleichungen'''

<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
& {{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }} \\
\end{align}</math>

sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!

<u>'''Gauß- System:'''</u>

<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>

=Relativistisches Hamiltonprinzip=

<u>'''Ziel: '''</u>Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie

Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht  und wenn man die Ränder bei Variation festhält:

<math>\begin{align}
& \delta W=0 \\
& W=\int_{1}^{2}{{}}ds \\
\end{align}</math>

letzteres: Wirkungsintegral
Wichtig:
<math>{{\left. \delta {{x}^{i}} \right|}_{1,2}}=0</math>

Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:

<math>W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds</math>

Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld

<math>\begin{align}
& \left( {{\phi }^{i}} \right)({{x}^{j}}) \\
& \Rightarrow  \\
\end{align}</math>

<math>W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}} \right\}</math>

mit den Lorentz- Invarianten

<math>{{m}_{0}}cds</math>

und

<math>{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}}</math>

'''Variation:'''

<math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c\delta \left( ds \right)-\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>

Nun:

<math>\begin{align}
& \delta \left( ds \right)=\delta {{\left( d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\frac{\left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}+d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)}{ds} \\
& \left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}=d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\
& =\frac{d{{x}^{\mu }}}{ds}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)={{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\
\end{align}</math>

Außerdem:

<math>\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)=\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}+{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)</math>

Somit:

<math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>

Weiter mit partieller Integration:

<math>\begin{align}
& \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \\
& \left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}=0,weil\delta {{x}_{\mu }}_{1}^{2}=0 \\
& \Rightarrow \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)ds \\
\end{align}</math>

Weiter:

<math>\int_{1}^{2}{{}}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=-\left[ {{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\mu }} \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}d{{\phi }^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)</math>

Mit

<math>\begin{align}
& d{{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}{{u}_{\nu }}ds \\
& \delta {{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }} \\
& \delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}d{{x}_{\mu }}=i<->k={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}{{u}_{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}ds \\
\end{align}</math>

Einsetzen in

<math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>

liefert:

<math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}</math>

'''Wegen'''

<math>\begin{align}
& \delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}=0 \\
& {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }}:={{f}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }} \\
& {{f}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\
\end{align}</math>

Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.

Man setze:

<math>\begin{align}
& {{p}^{\mu }}={{m}_{0}}c{{u}^{\mu }} \\
& {{f}^{\mu \nu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\
& {{\phi }^{\mu }}=\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }} \\
& \frac{d}{ds}{{p}^{\mu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }}\Leftrightarrow \delta W=\delta \int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right\}=0 \\
\end{align}</math>

Man bestimmt die Ortskomponenten
<math>\alpha =1,2,3</math>
über

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\bar{p}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right) \\
&  \\
\end{align}</math>

überein, denn mit

<math>\begin{align}
& {{u}^{0}}=\gamma  \\
& {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }}=-{{u}_{\alpha }} \\
\end{align}</math>

folgt dann:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}{{p}^{1}}=q\left( {{E}^{1}}+{{v}^{2}}{{B}^{3}}-{{v}^{3}}{{B}^{2}} \right) \\
& =q\left( {{F}^{10}}+{{F}^{21}}\frac{1}{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{1}{c}{{v}^{3}} \right) \\
& =\frac{q}{\gamma }\left( {{F}^{10}}\gamma +{{F}^{21}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{3}} \right)=\frac{q}{\gamma }{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }} \\
\end{align}</math>

mit

<math>ds=\frac{c}{\gamma }dt</math>
:

<math>\frac{d}{ds}{{p}^{1}}=\frac{q}{c}{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }}</math>

Die zeitartige Komponente
<math>\mu =0</math>
gibt wegen
<math>{{p}^{0}}=\frac{E}{c}</math>
:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{ds}\frac{E}{c}=\frac{\gamma }{{{c}^{2}}}\frac{dE}{dt}=\frac{q}{c}\left( {{F}^{01}}{{u}_{1}}+{{F}^{02}}{{u}_{2}}+{{F}^{03}}{{u}_{3}} \right)= \\
& =\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( -{{E}^{1}}{{v}_{1}}-{{E}^{2}}{{v}_{2}}-{{E}^{3}}{{v}_{3}} \right)=\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( {{E}^{1}}{{v}^{1}}+{{E}^{2}}{{v}^{2}}+{{E}^{3}}{{v}^{3}} \right) \\
& \frac{dE}{dt}=q\bar{E}\cdot \bar{v} \\
\end{align}</math>

Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit

=Eichinvarianz und Ladungserhaltung=

Wirkungsintegral:

<math>W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}</math>

Dabei:

<math>{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds={{W}_{t}}</math>
( Teilchen)

<math>-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}={{W}_{tf}}</math>
( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)

Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte
<math>m\left( {{x}^{\mu }} \right)</math>
:
Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!

<math>\begin{align}
& {{W}_{t}}=-c\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}rm\int_{1}^{2}{{}}ds=-\int_{\Omega }^{{}}{{}}d\Omega m\frac{ds}{dt} \\
& d\Omega :={{d}^{3}}rcdt=d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}} \\
\end{align}</math>

dOmega als Volumenelement  im Minkowski- Raum !!!

Bemerkungen:
#
# <math>d\Omega </math>
# ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen

<math>{{U}^{\mu }}_{\nu }</math>
erhalten bleibt.

2) Aus
<math>d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega </math>

folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=
<math>d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega </math>
:

<math>{{m}_{0}}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}\equiv {{g}^{\mu }}</math>

ein Vier- Vektor ist, da
<math>d{{m}_{0}},d\Omega </math>
Lorentz- Skalare sind und natürlich
<math>d{{x}^{\mu }}</math>
selbst auch ein Vierervektor

#
# <math>{{\mu }^{2}}\frac{d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{{\left( dt \right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)}^{2}}</math>
# ist Lorentz - Invariant.

Also
<math>{{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}</math>
ist Lorentz- Invariant. Also auch
<math>\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)</math>
.

Somit ist
<math>{{W}_{t}}</math>
insgesamt Lorentz- Invariant !