Editing Räumliche Isotropie

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|3}}</noinclude>
Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen

Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel
:<math>\phi =s</math>
um die z- Achse.

An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:


:<math>{{h}^{s}}:{{\bar{r}}_{i}}=({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\to {{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }=(x{{\acute{\ }}_{i}},y{{\acute{\ }}_{i}},z{{\acute{\ }}_{i}})</math>


Dabei gilt:


:<math>\begin{align}
  & {{x}_{i}}\acute{\ }={{x}_{i}}\cos s+{{y}_{i}}\sin s \\
 & {{y}_{i}}\acute{\ }={{y}_{i}}\cos s-{{x}_{i}}\sin s \\
 & {{z}_{i}}\acute{\ }={{z}_{i}} \\
\end{align}</math>


<u>'''Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:'''</u>

Betrachten wir infinitesimale Transformationen (Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln
:<math>\delta \phi =\delta s</math>



:<math>\left( \begin{matrix}
   {{x}_{i}}\acute{\ }  \\
   {{y}_{i}}\acute{\ }  \\
   {{z}_{i}}\acute{\ }  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   \cos s & \sin s & 0  \\
   -\sin s & \cos s & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   {{x}_{i}}  \\
   {{y}_{i}}  \\
   {{z}_{i}}  \\
\end{matrix} \right)\approx \left[ \left( \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   0 & s & 0  \\
   -s & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right) \right]\left( \begin{matrix}
   {{x}_{i}}  \\
   {{y}_{i}}  \\
   {{z}_{i}}  \\
\end{matrix} \right)</math>


Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben


:<math>\left( \begin{matrix}
   0 & s & 0  \\
   -s & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right)=-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math> Mit <math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math>
als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.

Somit folgt:


:<math>\left( \begin{matrix}
   {{x}_{i}}\acute{\ }  \\
   {{y}_{i}}\acute{\ }  \\
   {{z}_{i}}\acute{\ }  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   {{x}_{i}}  \\
   {{y}_{i}}  \\
   {{z}_{i}}  \\
\end{matrix} \right)+s\left( \begin{matrix}
   {{y}_{i}}  \\
   -{{x}_{i}}  \\
   0  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   {{x}_{i}}  \\
   {{y}_{i}}  \\
   {{z}_{i}}  \\
\end{matrix} \right)+s\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)</math>


Formal schreibt man:


:<math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})\left| _{s=0} \right.+s{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})</math> mit <math>{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>


=====Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion=====


:<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}</math>
ist rotationsinvariant, da nur von
:<math>\left| {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right|</math>
abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.

(Drehungen sind orthogonale Transformationen).


:<math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\left( {{\nabla }_{ri\acute{\ }}}V \right){{\left( \frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}\acute{\ }}{ds} \right)}_{s=0}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\bar{F}}}_{i}}({{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}})}}</math>


wegen:


:<math>\begin{align}
  & \left( {{\nabla }_{ri\acute{\ }}}V \right)=-{{{\bar{F}}}_{i}} \\
 & {{\left( \frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}\acute{\ }}{ds} \right)}_{s=0}}={{\left( \frac{d{{h}^{s}}}{ds} \right)}_{s=0}} \\
\end{align}</math>


Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:


:<math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}={{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{F}}}_{i}}\times {{{\bar{r}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math> Mit <math>\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math>
als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:


:<math>-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}={{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}=0</math>


'''Interpretation nach dem Noetherschen Theorem'''


:<math>I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}}\cdot {{\left( \frac{d{{h}^{s}}}{ds} \right)}_{s=0}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\cdot \left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\bar{l}=-{{l}_{z}}</math>


Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung

'''Andere Betrachtungsweise'''

Wähle
:<math>{{q}_{1}}=\phi =s</math>
als verallgemeinerte Koordinate

Trafo:
:<math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)</math> mit <math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>


Für infinitesimale Drehung um z-Achse.

<u>'''Invarianz							Erhaltungssätze'''</u>


:<math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>
  äquivalent zum Erhaltungssatz
:<math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>


Der Winkel ist also eine zyklische Variable.

Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu
:<math>{{q}_{1}}=\phi =s</math>,
 so ergibt sich:


:<math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{l}_{z}}</math> wegen <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}\ da{{\ }_{{}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial t}</math>


Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.

Nebenbedingung:

Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit
:<math>\tilde{\phi }=-\phi </math>.


Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz

'''Beispiel:'''

N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:


:<math>V({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)</math> mit <math>{{r}_{ij}}=\left| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right|</math>


Rotationsinvarianz gegen Drehung um '''alle '''Achsen:


:<math>\frac{\partial V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)}{\partial \phi }=\sum\limits_{i,j}{\frac{\partial V}{\partial {{r}_{ij}}}\cdot \frac{\partial }{\partial \phi }{{r}_{ij}}=0}</math>
für beliebige Achsen, da


:<math>\begin{align}
  & \frac{\partial }{\partial \phi }{{r}_{ij}}=\frac{\partial }{\partial \phi }{{\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \right]}^{1/2}}=\frac{1}{{{r}_{ij}}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\frac{\partial }{\partial \phi }\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left( \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}-\frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \\
 & \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{k}} \\
 & \Rightarrow \frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left( \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}-\frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{j}} \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\times {{{\bar{e}}}_{k}} \right]=\frac{1}{{{r}_{ij}}}{{{\bar{e}}}_{k}}\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\times \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \right]=0 \\
\end{align}</math>


Also ist der resultierende Drehimpuls
:<math>\bar{l}</math>
eine Erhaltungsgröße

<u>'''Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse'''</u>

Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:


:<math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\  }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})=(\bar{\bar{1}}-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}){{\bar{r}}_{i}}</math>


Mit der Erzeugenden
:<math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}=\left( \begin{matrix}
   0 & -1 & 0  \\
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right)</math>


Bei einer Drehung um den endlichen Winkel
:<math>\phi </math>
gilt:


:<math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{\bar{\bar{R}}}_{z}}(\phi ){{\bar{r}}_{i}}=\left( \begin{matrix}
   \cos \phi  & \sin \phi  & 0  \\
   -\sin \phi  & \cos \phi  & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right){{\bar{r}}_{i}}</math>


Es gilt:


:<math>{{\bar{\bar{R}}}_{z}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi  \right)</math>


mit Definition


:<math>\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi  \right):=\bar{\bar{1}}+\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi  \right)+\frac{1}{2}{{\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi  \right)}^{2}}+...+\frac{1}{k!}{{\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi  \right)}^{k}}</math>


'''Beweis:'''

'''Für'''


:<math>\begin{align}
  & \bar{\bar{M}}=\left( \begin{matrix}
   0 & -1  \\
   1 & 0  \\
\end{matrix} \right)\Rightarrow {{{\bar{\bar{M}}}}^{2}}=-\bar{\bar{1}},{{{\bar{\bar{M}}}}^{3}}=-\bar{\bar{M}},{{{\bar{\bar{M}}}}^{4}}=\bar{\bar{1}} \\
 & {{{\bar{\bar{M}}}}^{2n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\bar{\bar{1}} \\
 & {{{\bar{\bar{M}}}}^{(2n+1)}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\bar{\bar{M}} \\
\end{align}</math>


Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:


:<math>\begin{align}
  & \left( \begin{matrix}
   \cos \phi  & \sin \phi   \\
   -\sin \phi  & \cos \phi   \\
\end{matrix} \right)=\bar{\bar{1}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\left( 2n \right)!}{{\phi }^{2n}}-\bar{\bar{M}}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\left( 2n+1 \right)!}{{\phi }^{2n+1}}} \\
 & =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{\left( 2n \right)!}{{{\bar{\bar{M}}}}^{2n}}{{\phi }^{2n}}-\bar{\bar{M}}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{\left( 2n+1 \right)!}{{{\bar{\bar{M}}}}^{2n+1}}{{\phi }^{2n+1}}} \\
 & =\exp \left( -\bar{\bar{M}}\phi  \right) \\
\end{align}</math>


Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse

Erzeugende:


:<math>{{\bar{\bar{J}}}_{x}}=\left( \begin{matrix}
   0 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & -1  \\
   0 & 1 & 0  \\
\end{matrix} \right)</math>


Hier gewinnen wir die Drehmatrix:


:<math>{{\bar{\bar{R}}}_{x}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{x}}\phi  \right)</math>


Bei der y- Achse gilt:

Erzeugende:


:<math>{{\bar{\bar{J}}}_{y}}=\left( \begin{matrix}
   0 & 0 & 1  \\
   0 & 0 & 0  \\
   -1 & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right)</math>


Hier gewinnen wir die Drehmatrix:


:<math>{{\bar{\bar{R}}}_{y}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{y}}\phi  \right)</math>


Beliebige Drehungen um den Winkel
:<math>\phi </math>
mit der Drehachse
:<math>\bar{n}</math>
:


:<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math> mit <math>\bar{\phi }:=\phi \bar{n}</math>


Die Drehmatrizen
:<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math>
bilden nun eine 3- parametrige
:<math>\left( {{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}} \right)</math>,
 stetige, diffbare
:<math>\left( in\phi  \right)</math>
 und orthogonale Gruppe.

Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen

SO(3)


:<math>SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}</math> Mit <math>{{\bar{\bar{R}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1</math>
als Orthogonalitätsbedingung, so dass
:<math>|\bar{r}\acute{\ }|=|\bar{r}|</math> und <math>\det \bar{\bar{R}}=1</math>
zum Ausschluß von Raumspiegelungen.

Die Erzeugenden
:<math>{{\bar{\bar{J}}}_{i}}</math>
der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):


:<math>\left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{i}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{k}} \right]={{\bar{\bar{J}}}_{i}}{{\bar{\bar{J}}}_{k}}-{{\bar{\bar{J}}}_{k}}{{\bar{\bar{J}}}_{i}}</math>
	i,k=x,y,z

Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab!:


:<math>\begin{align}
  & \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{x}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{y}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \\
 & \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{z}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{y}} \\
 & \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{y}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \\
\end{align}</math>
 → zyklische Permutation des Lieschen Produktes