Editing Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen
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Line 3: | Line 3: | ||
==Mikrozustände:== | ==Mikrozustände:== | ||
Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> → quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>(Hilbertraum) | Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> → quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum) | ||
:<math>\left| \Psi \right\rangle \in H</math> | :<math>\left| \Psi \right\rangle \in H</math> | ||
Line 23: | Line 23: | ||
==Mikroobservable== | ==Mikroobservable== | ||
Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>(Ms kommutieren): | Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren): | ||
→ quantenmechanische Observablen (Hermitesch): | → quantenmechanische Observablen ( Hermitesch): | ||
:<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht! | :<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht ! | ||
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen! | Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen ! | ||
{{Def|'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left| \alpha \right\rangle </math>|Maximalmessung}} | {{Def|'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left| \alpha \right\rangle </math>|Maximalmessung}} | ||
Line 83: | Line 83: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Also gleich in Basis Alpha wie Beta! | Also gleich in Basis Alpha wie Beta ! | ||
===Quantenmechanisches Gemisch=== | ===Quantenmechanisches Gemisch=== | ||
Line 89: | Line 89: | ||
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7 | Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7 | ||
# <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>(prinzipielle Unschärfe) | # <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>( prinzipielle Unschärfe) | ||
Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle </math> | Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle </math> | ||
Line 95: | Line 95: | ||
* Zusätzliche Statistik | * Zusätzliche Statistik | ||
# <u>'''Unvollständige Information '''</u>über den Mikrozustand des Systems (z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | # <u>'''Unvollständige Information '''</u>über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
# wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen! | # wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen ! | ||
Basis der Mikrozustände : | Basis der Mikrozustände : | ||
Line 112: | Line 112: | ||
:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> | :<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> | ||
mit dem statistischen Operator (Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math>) | mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math> | ||
: | ): | ||
:<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | :<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | ||
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht! | Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht ! | ||
====Summary==== | ====Summary==== | ||
Line 140: | Line 140: | ||
:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | :<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | ||
* keine quantenmechanischen Interferenzterme! | * keine quantenmechanischen Interferenzterme ! | ||
* → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden! | * → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden ! | ||
'''Normierung '''des statistischen Operators: | '''Normierung '''des statistischen Operators: | ||
Line 154: | Line 154: | ||
:<math>\left| \Psi \right\rangle :\hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|</math> | :<math>\left| \Psi \right\rangle :\hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|</math> | ||
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand! | Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand ! | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|={{{\hat{P}}}_{\Psi }} \\ | & \hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|={{{\hat{P}}}_{\Psi }} \\ | ||
Line 160: | Line 160: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
einheitliche Darstellung!! | einheitliche Darstellung !! | ||
'''Nebenbemerkung''' | '''Nebenbemerkung''' | ||
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs (klassisch + quantenmechanisch) | Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch) | ||
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra <math>M</math> | Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra <math>M</math> | ||
Line 173: | Line 173: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände! | reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände ! | ||
====Informationsmaße==== | ====Informationsmaße==== | ||
Line 181: | Line 181: | ||
'''Nebenbemerkung:''' | '''Nebenbemerkung:''' | ||
:<math>\ln \hat{\rho }</math> | :<math>\ln \hat{\rho }</math> | ||
ist (wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung: | ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung: | ||
:<math>\ln \hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\ln {{P}_{\alpha }}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}</math> | :<math>\ln \hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\ln {{P}_{\alpha }}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}</math> | ||
Line 195: | Line 195: | ||
:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> | :<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> | ||
Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left| \alpha \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben! | Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left| \alpha \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben ! | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 206: | Line 206: | ||
& \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\ | & \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\ | ||
& n=1,...,m \\ | & n=1,...,m \\ | ||
\end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind! (im thermodynamischen Gleichgewicht) | \end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht) | ||
{{Def| | {{Def| | ||
Line 221: | Line 221: | ||
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators: | Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators: | ||
:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}^{N}}</math> | :<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}^{N}}</math> | ||
(Fock- Raum) | ( Fock- Raum) |