Editing Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen
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| Latest revision | Your text | ||
| Line 3: | Line 3: | ||
==Mikrozustände:== | ==Mikrozustände:== | ||
Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> | Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> -> quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum) | ||
:<math>\left| \Psi \right\rangle \in H</math> | :<math>\left| \Psi \right\rangle \in H</math> | ||
| Line 17: | Line 17: | ||
\end{align}</math> Orthonormierung und Vollständigkeit | \end{align}</math> Orthonormierung und Vollständigkeit | ||
<math>\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle </math> Entwicklung | |||
<math>\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion | |||
==Mikroobservable== | ==Mikroobservable== | ||
Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>(Ms kommutieren): | Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren): | ||
--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch): | |||
<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht ! | |||
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen! | Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen ! | ||
{{Def|'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left| \alpha \right\rangle </math>|Maximalmessung}} | {{Def|'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left| \alpha \right\rangle </math>|Maximalmessung}} | ||
| Line 52: | Line 52: | ||
==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung== | ==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung== | ||
===reine Zustände=== | ===reine Zustände=== | ||
<math>\left| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB|reiner Zustand}} (Vektorzustand) | |||
Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha \right\rangle </math> im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> (Maximalmessung): | Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha \right\rangle </math> im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> (Maximalmessung): | ||
| Line 77: | Line 77: | ||
'''Satz: '''Die Spur ist invariant bei Basiswechsel: | '''Satz: '''Die Spur ist invariant bei Basiswechsel: | ||
<math>\begin{align} | |||
& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | & tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | ||
& \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\left\langle \beta \acute{\ } | \beta \right\rangle ={{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\ | & \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\left\langle \beta \acute{\ } | \beta \right\rangle ={{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\ | ||
| Line 83: | Line 83: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Also gleich in Basis Alpha wie Beta! | Also gleich in Basis Alpha wie Beta ! | ||
===Quantenmechanisches Gemisch=== | ===Quantenmechanisches Gemisch=== | ||
| Line 89: | Line 89: | ||
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7 | Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7 | ||
# <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>(prinzipielle Unschärfe) | # <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>( prinzipielle Unschärfe) | ||
Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle </math> | Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle </math> | ||
| Line 95: | Line 95: | ||
* Zusätzliche Statistik | * Zusätzliche Statistik | ||
# <u>'''Unvollständige Information '''</u>über den Mikrozustand des Systems (z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | # <u>'''Unvollständige Information '''</u>über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
# wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen! | # wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen ! | ||
Basis der Mikrozustände : | Basis der Mikrozustände : | ||
<math>\left| \alpha \right\rangle </math> | |||
-> sample set der Zufallsereignisse | |||
<math>{{P}_{\alpha }}</math> | |||
Wahrscheinlichkeitsverteilung | Wahrscheinlichkeitsverteilung | ||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle </math> | |||
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | ||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle \left\langle \beta | \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta | \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{\rho }\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | |||
Also: | Also: | ||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> | |||
mit dem statistischen Operator (Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math>) | mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math> | ||
: | ): | ||
<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | |||
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht! | Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht ! | ||
====Summary==== | ====Summary==== | ||
Bemerkung: | Bemerkung: | ||
'''Reine Zustände ''' | '''Reine Zustände '''-> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \\ | & \left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \\ | ||
& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } | \Psi \right\rangle \\ | & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } | \Psi \right\rangle \\ | ||
| Line 129: | Line 129: | ||
mit den quantenmechanischen Phasen | mit den quantenmechanischen Phasen | ||
<math>\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle ,\left\langle \alpha \acute{\ } | \Psi \right\rangle </math> | |||
* es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls <math>\hat{M}</math> | * es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls <math>\hat{M}</math> | ||
| Line 136: | Line 136: | ||
'''Gemisch: '''Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen: | '''Gemisch: '''Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen: | ||
<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | |||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | |||
* keine quantenmechanischen Interferenzterme! | * keine quantenmechanischen Interferenzterme ! | ||
* | * -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden ! | ||
'''Normierung '''des statistischen Operators: | '''Normierung '''des statistischen Operators: | ||
<math>\begin{align} | |||
& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta | \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | & tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta | \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | ||
& \left\langle \alpha | \beta \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }} \\ | & \left\langle \alpha | \beta \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }} \\ | ||
| Line 152: | Line 152: | ||
Darstellung reiner Zustände | Darstellung reiner Zustände | ||
<math>\left| \Psi \right\rangle :\hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|</math> | |||
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand! | Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand ! | ||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|={{{\hat{P}}}_{\Psi }} \\ | & \hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|={{{\hat{P}}}_{\Psi }} \\ | ||
& \Rightarrow \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right) \\ | & \Rightarrow \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
einheitliche Darstellung!! | einheitliche Darstellung !! | ||
'''Nebenbemerkung''' | '''Nebenbemerkung''' | ||
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs (klassisch + quantenmechanisch) | Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch) | ||
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra <math>M</math> | Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra <math>M</math> | ||
der Observablen: | der Observablen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{\rho }:M\to R \\ | & \hat{\rho }:M\to R \\ | ||
& \hat{M}\to tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)=\left\langle {\hat{M}} \right\rangle \\ | & \hat{M}\to tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)=\left\langle {\hat{M}} \right\rangle \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände! | reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände ! | ||
====Informationsmaße==== | ====Informationsmaße==== | ||
| Line 180: | Line 180: | ||
'''Nebenbemerkung:''' | '''Nebenbemerkung:''' | ||
<math>\ln \hat{\rho }</math> | |||
ist (wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung: | ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung: | ||
<math>\ln \hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\ln {{P}_{\alpha }}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}</math> | |||
'''Informationsgewinn:''' | '''Informationsgewinn:''' | ||
<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> | |||
Eigenschaften wie im klassischen Fall: | Eigenschaften wie im klassischen Fall: | ||
<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]\ge 0</math> | |||
====Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator==== | ====Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator==== | ||
| Line 195: | Line 195: | ||
:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> | :<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> | ||
Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left| \alpha \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben! | Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left| \alpha \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben ! | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 206: | Line 206: | ||
& \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\ | & \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\ | ||
& n=1,...,m \\ | & n=1,...,m \\ | ||
\end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind! (im thermodynamischen Gleichgewicht) | \end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht) | ||
{{Def| | {{Def| | ||
'''Kanonischer Statistischer Operator:''' | '''Kanonischer Statistischer Operator:''' | ||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\ | & \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\ | ||
& Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\ | & Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\ | ||
| Line 217: | Line 217: | ||
'''Übung:''' | '''Übung:''' | ||
Berechnung der Fermi / Boseverteilung | Berechnung der Fermi / Boseverteilung | ||
<math>\left\langle {\hat{N}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{N} \right)</math> | |||
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators: | Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators: | ||
<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}^{N}}</math> | |||
(Fock- Raum) | ( Fock- Raum) | ||