Editing Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen

==Mikrozustände:==

Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> → quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>(Hilbertraum)

& \left\langle  \alpha \acute{\ } | \alpha  \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \acute{\ }\alpha }} \\

:<math>\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle </math> Entwicklung

:<math>\left\langle  {\bar{r}}  |  \Psi  \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion

Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>(Ms kommutieren):

:<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht!

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen!

{{Def|'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left| \alpha  \right\rangle </math>|Maximalmessung}}

* <math>{{M}_{\alpha }}\in R</math>  als Eigenwerte im Eigenzustand <math>\left| \alpha  \right\rangle </math> <math>\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle ={{M}_{\alpha }}\left| \alpha  \right\rangle </math>

{{FB|Spektraldarstellung}}:

:<math>\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{{}}^{{}}{\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle  \alpha \acute{\ } \right|}\left| \alpha  \right\rangle </math>

:<math>\begin{align}

* {{FB|Projektionsoperator}} auf <math>\left| \alpha  \right\rangle </math>

==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==

===reine Zustände===

Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha  \right\rangle </math> im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math> (Maximalmessung):

:<math>{{\left| \left\langle  \alpha   | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}=\left\langle  \Psi   | \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   | \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left| \Psi  \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math>

Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>:

:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   | \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   | \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle  \alpha   | \Psi  \right\rangle \left\langle  \alpha \acute{\ } \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle </math>

Falls <math>\left| \alpha  \right\rangle </math> Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math>:

:<math>\begin{align}

& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   | \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   | \Psi  \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\

Schreibweise mit  Projektor auf Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>:

:<math>\begin{align}

& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha   | \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha  \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\

:<math>\begin{align}

& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha  \right|\hat{X}\left| \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle  \alpha   | \beta  \right\rangle \left\langle  \beta  \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \left\langle  \beta \acute{\ } | \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\beta ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta  \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \beta \acute{\ } | \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   | \beta  \right\rangle  \\

& \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \beta \acute{\ } | \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   | \beta  \right\rangle =\left\langle  \beta \acute{\ } | \beta  \right\rangle ={{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\

Also gleich in Basis Alpha wie Beta!

===Quantenmechanisches Gemisch===

# <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>(prinzipielle Unschärfe)

Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle  \alpha   | \Psi  \right\rangle </math>

# <u>'''Unvollständige Information '''</u>über den Mikrozustand des Systems (z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>

#  wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen!

:<math>\left| \alpha  \right\rangle </math>

→ sample set der Zufallsereignisse

:<math>{{P}_{\alpha }}</math>

:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle </math>

:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|\hat{M}\left| \beta  \right\rangle \left\langle  \beta   | \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \beta   | \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|\hat{M}\left| \beta  \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta  \right|\hat{\rho }\hat{M}\left| \beta  \right\rangle </math>

:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math>

mit dem statistischen Operator (Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math>)

:

:<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math>

Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht!

'''Reine Zustände '''→ kohärente  Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:

:<math>\begin{align}

& \left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   | \Psi  \right\rangle  \\

& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   | \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha  \right|\hat{M}\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle  \alpha \acute{\ } | \Psi  \right\rangle  \\

:<math>\left\langle  \Psi   | \alpha  \right\rangle ,\left\langle  \alpha \acute{\ } | \Psi  \right\rangle </math>

:<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math>

:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha   | \beta  \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle  \beta  \right|\hat{M}\left| \beta  \right\rangle </math>

* keine quantenmechanischen Interferenzterme!

* → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden!

:<math>\begin{align}

& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta   | \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha   | \beta  \right\rangle  \\

& \left\langle  \alpha   | \beta  \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }} \\

:<math>\left| \Psi  \right\rangle :\hat{\rho }=\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|</math>

Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand!

:<math>\begin{align}

einheitliche Darstellung!!

Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs (klassisch + quantenmechanisch)

:<math>\begin{align}

reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände!

:<math>\ln \hat{\rho }</math>

ist (wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:

:<math>\ln \hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\ln {{P}_{\alpha }}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha  \right|}</math>

:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math>

:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]\ge 0</math>

:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math>

Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left| \alpha  \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben!

:<math>\begin{align}

Die <math>{{\hat{M}}^{n}}</math> müssen nicht miteinander kommutieren, aber <math>\begin{align}

\end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind! (im thermodynamischen Gleichgewicht)

:<math>\begin{align}

\end{align}</math>|Kanonischer Statistischer Operator}}

:<math>\left\langle {\hat{N}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{N} \right)</math>

:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}^{N}}</math>

(Fock- Raum)