Editing Prüfungsfragen:Statistische Physik

=Warum betreibt man statistische Physik=
<noinclude>{{Frage| statistische Physik}}</noinclude>
*Beschreibung von Vielteilchensystemen → viele Freiheitsgrade→unmöglich Lösung anzugeben
*Mangel an Informationen → Mangel an Fragen


Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden
Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände <math> \Psi_i </math>)

BILD
:<math>G_\nu</math> als Funktion von <math>\lambda_\nu, h_\alpha</math> auffassen

Viele mikrozustände führen zum selben makrozustand
siehe auch {{Quelle|St7B||Kap 5.2}}

=Was sind die Konzepte der statistischen Physik=
-Konzept zur Mittelung von Vielteilchensystemen.

Shannon Information: Maß für Informationsgehelt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Entropie: Maß des Nichtwissens-

=Shannon Information=
Shannon Information <math>I \left[ p_\alpha \right] :=\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.4.5)|S 45}}
*<math>I \left[ p_\alpha \right] \le 0 </math> 
*<math>{{p}_{\alpha }}=0\to I\left[ {{p}_{\alpha }} \right]=0</math> maximal bei scharfer Verteilung

= Minimierung der Shannon-Information=
[[Verallgemeinerte kanonische Verteilung|Schöll S21]]
:<math>\lambda= -(\Psi +1)</math>
Variation unter NB <math>\sum_\alpha p_\alpha=1</math> ist eine Observable
Annahme N_m andere Observable


D[x Log[x], x]=Log[x]+1


:<math>0=\sum_\alpha \delta p_\alpha \left( \operatorname{ln} p_\alpha +1 + \sum_{n=1}^{N_M}\lambda_n A_\alpha^n \right)</math>{{Quelle|St7B|5.4.13|Kap 5.4.3 S46}}

:<math>p_\alpha=exp(\Psi-\lambda_n A_\alpha^n)</math>

:<math>\Psi=-1-\lambda_0</math>

= verallgmeinerte kanonische Verteilung=
?Volumenabhängigkeit
*E hängt von V ab
--> Beispiel Fermigas Stufenfunktion

--> größeres Volumen mehr zustände
--> verteilungsfunktion verschiebt sich nach links

=Entropie=
Über negative Shannon Info *k
:<math>S:=-k I \left[ p_\alpha \right]=-k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.5.7)|S 48}}

Über Dichtematrix/operator
:<math>S:=-k \left\langle \operatorname{ln} \rho \right\rangle =-k \operatorname{Tr} \left(\operatorname{ln} \rho  \right\rangle= -k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha </math>

Minimum bei reinen Zuständen?
:<math>S(\rho) \ge 0</math>

TD
:<math>dS=\frac{dQ}{T}</math>

=Bose-Einstein-Kondensation=
=Dichteoperator f kanonisches Ensemble=
:<math>\rho= \sum_alpha p_\alpha ketbra{\alpha}{\alpha}</math>

\alpha Eigenstate

:<math>p_\alpha=\frac{1}{Z}exp(-\beta \epsilon_\alpha)</math>

Z Zustandssumme
=Bose-Verteilung=
:<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}-1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math>

Bei Photonen µ=0

hohe Temperatur ?

Kurve schneidet Y nicht

[[File:Bose-einstein-fermi-dirac.png]]

=Fermi-Verteilung=
:<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}+1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math>
T=0 Fermi Energie
µ→E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet
[[Bild:Fermi dirac distr.svg]]

=Boltzmann-Verteilung=

:<math>    \langle n(E_i) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E_i - \mu)} }</math> 
Schneidet bei 1
ideales Gas (kein eWW)

Chemisches Potential? 
klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur

gilt bei hoher Energie und geringer dichte

photonen haben kein ch potential

=Wärmekapazität=
Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung
<math>C_X= \left.\frac{\delta Q}{\mathrm{d} T}\right|_X</math>

?Elektronen
* T³

?Photonen
*schwarzer strahler sigma t⁴ fürht zu t³
?klassisch
*Tiefemperatur
*sättigung

[[File:DiatomicSpecHeat1.png|miniatur|Freiheitsgrade über T für 2-Atomiges Gas]]

=GKSO=
gerneralisierter kanonischer statistischer Operator
?Zustandssumme


=Zustandssumme=
kanonische Verteilung <math>Z=e^\psi=e^{1+\lambda_0}=\sum_\alpha e^{-\lambda_n A_\alpha^n}</math>{{Quelle|St7B|5.4.15|S47}}

:<math>\begin{align}
Z_k(N,V,T) &= \sum_i\mathrm{e}^{-\beta E_i}.\\
Z_{gk}(\mu, V, T) &= \sum_i\mathrm{e}^{-\beta( E_i - \mu N_i)}\\
Z_\mathrm{m}(U,N,V) &= \sum_{ E_{\psi} (N,V) \le U } 1\\
Z_\mathrm{m}(U,N,V) &= \int\limits_{ H(p,q,N,V) \le U} \!\!\!\frac{d^{3N}p\; d^{3N} q}{h^{3N} N!}
\end{align}</math>

Wie kann man Potentiale berechnen?
:<math>\begin{align}
S(N,V,E) &= k_\mathrm{B} \,\log Z_m(N,V,E)\\
F(N,V,T) &= - k_\mathrm{B}T  \,\log Z_k(N,V,T)\\
\Omega(\mu, V, T) &= - k_\mathrm{B}T  \,\log Z_g(\mu, V, T)
\end{align}</math>
[http://de.wikipedia.org/wiki/Entropie_%28Thermodynamik%29]

=Zustandsgleichung=

Wie erhält man sie
*kalorisch
leite P
*thermisch
leite Potential nach Volumen ab --> p
*chemisch

=Zustandsdichte=
Die Zustandsdichte D(E)  bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE]  bzw. [ω,ω + dω] existieren.
:<math>D(E)= 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V} \right) \qquad \text{mit} \qquad V=L_\mathrm{x}\cdot L_\mathrm{y}\cdot L_\mathrm{z}\quad.</math>
[http://de.wikipedia.org/wiki/Zustandsdichte]

=Enthalpie=
:<math>H:=U+pV:=U(S,V,N)-\frac{\partial U}{\partial V}_{S,N}V</math>
{{Quelle|St7B|3.6.1|S27}}
{{Quelle|St7B|1.5.2|S9}}
:<math>dH=T dS+V dp + \mu dN</math>
dU: änderung der inneren Energie
d(pV) Änderung der Volumenarbeit

=Freie Energie=
Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig
Zusammenhang mit Zustandssumme <math>F(T,V,N)-kT \operatorname{ln} Z_k</math>

also dem kanonischen Ensemble zugeordnet
thermodynamisches Potential


*partielle Ableitung?
=Großkanonisches Potential=
[http://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fkanonisches_Potential]
:<math>\Omega := \ F - \mu N = U - T S - \mu N</math> 
    dΩ = − SdT − Ndμ − pdV 
Ω = − pV.
=thermische Wellenlänge=

f ideales Gas <math>\lambda=\frac{h}{\sqrt{2 \pi m h T}} , E= \pi h T</math>?

=Temperatur=

:<math>T^{-1}=\frac{\partial S}{\partial E}</math>

mikroskopisches Ensemble

=chemisches Potential=

-Einschränkung: Bosegas nur kleiner 0 Zulässig

=Dichtematrixgleichung=
Gleichgewicht
Zeitabhängigkeite 0 äussere Felder konstat
anschaulich keine Übergänge finden statt

herleitung

Lösunge der Dichtematrixgleichung F. GoldenRule

=Mittelwert=

:<math>\left\langle f\left( X \right) \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{d}{{{p}_{n}}f\left( {{x}_{n}} \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{dxp\left( x \right)f\left( x \right)}}</math>
mit delta verknüpft
für das normalerweise gilt 
:<math>\underset{\varepsilon ->0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\varepsilon }p\left( \frac{x}{\varepsilon } \right)=\delta \left( x \right)</math>
{{Quelle|St7B|5.3.8}}

=Ensemble Theorie=
Liste:
mikrokanonisch N,V,E
kanonisch NTV →F
großkanonisch µ V T \Omeaga
(kanonisch harmonisch) N P T

Skizzen
=Hohlraumstrahlung=
=Plancksche Strahlungsformel=
-herleitung: scon schön mgl kanonischem ensemble  zumme über zustände im hamiltonian
spin der Photonen beachten (polarisationszustand)
Zustandsdglichungen der Photonen E=const T^4 p=1/3E/V

=Potentialtopf=

:<math>\epsilon_n =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}</math> 

:<math>
{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right) </math>mit 

:<math>{{\sum }_{k}}\triangleq {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>

:<math>\begin{align} & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ \end{align}</math>

[[Quantentheoretischer Zugang]]
=Druck=
:<math>p=\frac{\partial F} {\partial V}</math>

isoliertes System:
:<math>p=-\frac{\partial E} {\partial V}</math> {{Quelle|St7B|1.2.1|S4}} Energie,Volumen

=kanonisches Ensemble=
Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H}
N,V Fest
:<math>\mu = \frac{1}{\beta} \partial_N ln Z</math>
Energieeigenmwerte \epsilon_r
:<math>
Z=\sum_r exp(-\beta \epsilon_r)</math>

=mikrokanonisches Ensemble (Definition)=
*Konstanz der Gesamtenergie

=Übergang Stat M zu Thermodyn=
1/T=dS/dE

=von Neumann Gleichung=
=Mastergleichung=
=statistischer Operator=
*Entropiedefinition
*Interpreation

=Großkanonischer Operator=
Was kann man damit bereichen
Skizze zu Wärmebad und Teilchenreservoir

=siehe auch=
<references />
[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Prüfung]]