Editing Paramagnetismus

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|7}}</noinclude>

'''Paramagnetismus''':  vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet! Keine WW der Elementarmagnete untereinander

Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander! → spontane Magnetisierung!

'''Diamagnetismus: '''die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert → Abstoßung (Lenzsche Regel)!

====Modell eines Paramagneten====

N ortsfeste (und somit unterscheidbare Teilchen!) mit Drehimpuls <math>\bar{L}</math>

im Magnetfeld der Induktion <math>\bar{B}</math>

:

'''Drehimpulsquantisierung:'''

Energie:

:<math>\begin{align}

& E=-\mu B{{m}_{l}} \\

& {{m}_{l}}=-l,-l+1,-l+2,...,l-1,l \\

& \mu =g\frac{e\hbar }{2m}=g{{\mu }_{Bohr}} \\

\end{align}</math>

mit <math>{{\mu }_{Bohr}}</math>

= Bohrsches Magneton!

z.B. Spin: <math>l=\frac{1}{2},g=2,{{m}_{l}}=\pm 1</math>

Bahn: <math>l=1,g=1,{{m}_{l}}=-1,0,1</math>

<u>'''Einteilchen- Zustandssumme'''</u>

:<math>\begin{align}

& Z=\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\

& \nu :={{m}_{l}}+l \\

& \Rightarrow Z=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\sum\limits_{\nu =0}^{2l}{{}}{{\left( \exp \left( \beta \mu B \right) \right)}^{\nu }}=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\frac{\exp \left( \beta \mu B\left( 2l+1 \right) \right)-1}{\exp \left( \beta \mu B \right)-1}=\frac{\sinh \left( \beta \mu B\left( l+\frac{1}{2} \right) \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)} \\

\end{align}</math>

Beispiel:   l = 1/2:

:<math>\Rightarrow Z=\frac{\sinh \left( \beta \mu B \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)}=2\cosh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math>

Als '''Einteilchenzustandssumme'''

<u>'''Magnetisierung M  '''</u> (= mittleres magnetisches Moment pro Volumen)

:<math>\begin{align}

& M=\frac{N}{V}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}{{Z}^{-1}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right)=\frac{N}{V}\frac{1}{Z}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\

& =\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z \\

& =\frac{N}{V}\mu \left[ \left( l+\frac{1}{2} \right)\coth \left[ \beta \mu B\left( l+\frac{1}{2} \right) \right]-\frac{1}{2}\coth \left[ \frac{1}{2}\beta \mu B \right] \right] \\

\end{align}</math>

Brillouin- Funktion

z.B.   l= 1/2:

:<math>M=\frac{N}{V}\mu \frac{1}{2}\tanh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math>

(Lorgevin- Funktion)

Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung

:<math>M\left( T,V,B \right)</math>

====Hohe Temperaturen====

:<math>kT>>\mu B</math>

Beispiel: B= 1 Tesla → T >> 1K

Entwicklung

:<math>\begin{align}

& \coth x\approx \frac{1}{x}+\frac{x}{3}+... \\

& x<<1 \\

\end{align}</math>

:<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\beta {{\mu }^{2}}B</math>

'''linear '''in B!

speziell:  l= 1/2:

:<math>\Rightarrow M\left( T,V,B \right)=\frac{N}{V}\frac{{{\mu }^{2}}B}{4kT}</math>

Curie- Gesetz!!

'''magnetische Suszeptibilität  '''<math>{{\chi }_{m}}</math>

definiert durch

:<math>M={{\chi }_{m}}H</math>

:<math>B={{\mu }_{0}}\left( H+M \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)H</math>

mit dem Magnetfeld <math>H</math>

und <math>{{\mu }_{0}}</math>

als absolute Permeabilität

:<math>\Rightarrow M=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{m}}}{1+{{\chi }_{m}}}B\approx \frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{\chi }_{m}}B</math>

'''Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:'''

:<math>{{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\frac{{{\mu }^{2}}}{kT}=\frac{C}{T}</math>

Mit der Curie- Konstanten C!

(Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört!)

'''Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:'''

:<math>\begin{align}

& kT<<\mu B \\

& \coth x\approx 1 \\

\end{align}</math>

für <math>x\to \infty </math>

:<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\mu \left( \left( l+\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \right)=\frac{N}{V}\mu l</math>

Also:

Vollständige Ausrichtung aller Momente

----

:<math>\bar{\mu }\uparrow \uparrow \bar{B}</math>

====Vergleich mit der klassischen rechnung====
:<math>\bar{E}=-\bar{m}\bar{B}=-mB\cos \alpha </math>

mit <math>\left| {\bar{m}} \right|</math>

fest (magnetisches Moment!) und <math>\alpha </math>

Phasenraumvariable!, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten!

'''Klassische Zustandssumme:'''

:<math>Z\tilde{\ }\int_{-1}^{1}{{}}d\left( \cos \alpha  \right)\exp \left( \beta mB\left( \cos \alpha  \right) \right)\tilde{\ }\frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B}</math>

:<math>\begin{align}

& M=\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z=\frac{N}{V}\frac{B}{\sinh \left( \beta mB \right)}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\left( \frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B} \right) \\

& =\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right) \\

\end{align}</math>

<u>'''Vergleich für l=1/2, g=2  (Spin)'''</u>

:<math>\begin{align}

& \frac{MV}{Nm}=\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)=\left( \coth x-\frac{1}{x} \right) \\

& x=\frac{mB}{kT} \\

\end{align}</math>

klassisch

im Gegensatz zu quantentheoretisch: <math>\frac{MV}{Nm}=\tanh x</math>

Also für x→ 0  (hohe Temperaturen):

:<math>\frac{MV}{Nm}\to \frac{x}{3}</math>

(klassisch)

:<math>\frac{MV}{Nm}\to x</math>

(quantentheoretisch!)

und für   x →  <math>\infty </math>

(tiefe Temperaturen):

:<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-\frac{1}{x}</math>

(klassisch)

:<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-{{e}^{-2x}}</math>

(quantentheoretisch)

Somit folgt (die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte):

Abszisse: x  =  mB/(kT)

Ordinate:  MV/Nm

Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab!

<u>'''Vergleich für l>>1'''</u>

quantentheoretisch: <math>l+\frac{1}{2}\approx l</math>

und <math>\mu l=m</math>

:<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{2l}\coth \frac{\beta mB}{2l} \right)</math>

Klassisch dann mit der Näherung

:<math>\coth \frac{\beta mB}{2l}\approx \frac{2l}{\beta mB}</math>

für

:<math>kT>mB</math>

klassisch:

:<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)</math>

(klassische Brillouin- Funktion)

<u>'''Für l=2 folgt:'''</u>

<u>'''Dabei ist die klassische '''</u>Kurve nun steiler! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist!

Für l=5:


und schließlich   l=10:

Dabei wurde wieder

Abszisse: x  =  mB/(kT)

Ordinate:  MV/Nm

====Energie und Entropie====

Entropie S  für <math>l=\frac{1}{2}</math>

N- Teilchen- Zustandssumme <math>{{Z}^{N}}</math>

:<math>S=k\left( \ln {{Z}^{N}}+\beta U \right)</math>

Statistischer Operator für kanonische Verteilung:

:<math>{{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}}</math>

:<math>\begin{align}

& U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln {{Z}^{N}}=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \left[ 2\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right]=-\frac{N\mu B}{2}\frac{\sinh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)}{\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)} \\

& U\left( T \right)=-\frac{N\mu B}{2}\tanh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \\

\end{align}</math>

(kalorische Zustandsgleichung <math>U\left( T,B \right)</math>
)


:<math>\begin{align}

& S\left( T \right)=kN\left( \ln Z-\beta \frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z \right) \\

& S\left( T \right)=kN\left[ \ln 2+\ln \cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)-\frac{\beta \mu B}{2}\tanh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right] \\

\end{align}</math>

'''Limes'''

:<math>\begin{align}

& T\to \infty  \\

& \Rightarrow S\left( T \right)=kN\ln 2 \\

&  \\

& T->0 \\

& \Rightarrow S(T)\to kN\left[ \ln 2+\ln \frac{{{e}^{x}}}{2}-x\left( 1-2{{e}^{-2x}} \right) \right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0 \\

& x:=\frac{\mu B}{2kT}\to \infty  \\

\end{align}</math>

'''Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur (arbitrary units) geplottet:'''

Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld (a.u.) verdoppelt!

====Adiabatische Entmagnetisierung====

Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung (insbesondere mit Kernspin)