Editing Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|2}}</noinclude>

:<math>\begin{align}

& \left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{\bar{p}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\nabla {{\Psi }_{lm}}(\bar{r}) \\

& \left\langle  {\bar{r}} \right|\bar{r}\left| l,m \right\rangle =\bar{r}{{\Psi }_{lm}}(\bar{r}) \\

\end{align}</math>

:<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>

ergibt:

:<math>\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{1}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(\bar{r})</math>

In Kugelkoordinaten:

:<math>\begin{align}

& {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi  \\

& {{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi  \\

& {{x}_{3}}=r\cos \vartheta  \\

& {{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}=\frac{\partial }{\partial \phi } \\

\end{align}</math>

Aber:

:<math>\begin{align}

& {{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}=\frac{\partial }{\partial \phi }=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{L}}}_{z}} \\

& \Rightarrow {{{\hat{L}}}_{z}}=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi } \\

\end{align}</math>

in Kugelkoordinaten!

:<math>\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )</math>

Eigenwertgleichung für <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>
.


'''Lösung'''

:<math>\begin{align}

& {{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )={{e}^{im\phi }}{{f}_{lm}}(r,\vartheta ) \\

& m=-l,...,l \\

\end{align}</math>

Eindeutigkeit:

:<math>\begin{align}

& {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi  \right)}} \\

& \Rightarrow m\in Z \\

\end{align}</math>

:<math>\Rightarrow </math>

Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.

Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen <math>{{\hat{L}}_{z}}=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }</math>

die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen <math>{{e}^{i\frac{1}{2}\phi }}=-{{e}^{i\frac{1}{2}\left( \phi +2\pi  \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}\phi }}</math>

Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!

:<math>\begin{align}

& {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi  \right)}} \\

& \Rightarrow m\in Z \\

\end{align}</math>

<u>'''Leiteroperatoren:'''</u>

:<math>\begin{align}

& \left\langle  {\bar{r}} \right|{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{3}}-{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{2}}\pm i{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{1}}\mp i{{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{3}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \phi } \right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi ) \\

& \hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \phi } \right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar {{e}^{i\left( m\pm 1 \right)\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }-m\cot \vartheta  \right){{f}_{lm}}(r,\vartheta ) \\

\end{align}</math>

Für m=l  (Maximalwert) ist

:<math>\begin{align}

& {{{\hat{L}}}_{+}}\left| l,l \right\rangle =0 \\

& \Rightarrow \hbar {{e}^{i\left( l+1 \right)\phi }}\left( \frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta  \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=0 \\

\end{align}</math>

'''Lösung:'''

:<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\frac{d{{f}_{ll}}(r,\vartheta )}{f}=l\int_{{}}^{{}}{{}}\cot \vartheta d\vartheta </math>

:<math>{{f}_{ll}}(r,\vartheta )={{\left( -1 \right)}^{l}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{l}}{{R}_{ll}}(r)</math>

Mit dem Normierungsfaktor

:<math>\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}</math>

Erzeugung der anderen <math>{{f}_{lm}}(r,\vartheta )</math>

:

:<math>{{\Psi }_{l,l-1}}(\bar{r})\propto \left\langle  {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{-}}\left| ll \right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left( -\frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta  \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{1-l}}\frac{\partial }{\partial \cos \vartheta }\left[ {{\left( \sin \vartheta  \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta  \right]</math>

'''Normierung:'''

:<math>{{\Psi }_{l,m}}(r,\vartheta ,\phi )={{R}_{lm}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>

Mit den Kugelflächenfunktionen

:<math>\begin{align}

& {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{e}^{im\phi }}}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{{{\left( -1 \right)}^{m}}}{{{2}^{l}}l!}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)\left( l-m \right)!}{2\left( l+m \right)!}}\frac{1}{{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{m}}}\frac{{{d}^{l-m}}}{d{{\left( \cos \vartheta  \right)}^{l-m}}}{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{2l}} \\

& {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{e}^{im\phi }}}{\sqrt{2\pi }}\cdot {{\left( -1 \right)}^{m}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)\left( l-m \right)!}{2\left( l+m \right)!}}{{P}^{m}}_{l}(\cos \vartheta ) \\

\end{align}</math>

Wobei

:<math>{{P}_{l}}(x):=\frac{1}{{{2}^{l}}l!}\frac{{{d}^{l}}}{{{\left( dx \right)}^{l}}}{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{l}}</math>

Legendre- Polynom l- ten Grades

:<math>{{P}_{l}}^{m}(x):={{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{m}{2}}}\frac{{{d}^{m}}}{{{\left( dx \right)}^{m}}}{{P}_{l}}(x)</math>

zugeordnetes Legendre- Polynom

Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase

Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert

:<math>\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\vartheta ,\phi )={{\delta }_{ll\acute{\ }}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>

Dies bedeutet:

:<math>\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=1</math>

oder in einer diskreten Basis:

:<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math>

→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!

Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:

:<math>F(\vartheta ,\phi )=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{\sum\limits_{m=-l}^{l}{{}}}{{c}_{l}}^{m}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>

Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:

:<math>{{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}</math>

Die Inversion am Ursprung liefert: (also: <math>\bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}}</math>
)
, also <math>(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )</math>

:

Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände <math>{{\left| l,m \right\rangle }^{{}}}</math>

haben die Parität <math>{{\left( -1 \right)}^{l}}</math>

(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)




'''Eigenfunktion'''
	'''Knotenlinien von '''<math>\operatorname{Re}\left\{ {{Y}_{l}}^{m} \right\}</math>
	'''l'''
	'''m'''
	'''Bemerkungen/ Parität'''
:<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>
	'''0'''
	'''0'''
	'''0'''
	'''gerade (s-Orbitale)'''
:<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>
	'''1'''
	'''1'''
	'''0'''
	'''ungerade (p-Orbitale)'''

:<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
	'''1'''
	'''1'''
	<math>\pm 1</math>
	ungerade (ebenfalls p-Orb.)

:<math>{{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi </math>

:<math>{{\Psi }_{{{P}_{y}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \sin \phi </math>

:<math>{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)</math>
	'''2'''
	'''2'''
	'''0'''
	'''gerade (d-Orbitale)'''
:<math>{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
	'''2'''
	'''2'''
	<math>\pm 1</math>
	'''gerade (d-Orbitale)'''
:<math>{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}</math>
	'''2'''
	'''2'''
	<math>\pm 2</math>
	'''gerade (d-Orbitale)'''

<u>'''Keine Knotenlinie'''</u>

:<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>

			n=1 à  m=0, l=0

<u>'''Eine Knotenlinie'''</u>

:<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>

		n=2, l=1, m=0

Merke: Wir haben  prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel <math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>

NULL!)

:<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>

:	n=2, l=1, m=<math>\pm 1</math>


<u>'''Zwei Knotenlinien'''</u>

:<math>{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)</math>

	 	n=3, l=2, m=0

:<math>{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>

		n=3, l=2, m=<math>\pm 1</math>


:<math>{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}</math>

		n=3, l=2, m=<math>\pm 2</math>