Editing Operatoren im Hilbertraum
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Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung | Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung | ||
In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls (klassisch) den Impulsoperator zur Beschreibung der Observable: | In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls ( klassisch) den Impulsoperator zur Beschreibung der Observable: | ||
<math>\bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math> | |||
Die Eigenwertgleichung in der Ortsdarstellung des Impulszustandes lautet: | Die Eigenwertgleichung in der Ortsdarstellung des Impulszustandes lautet: | ||
<math>\frac{\hbar }{i}\nabla \left( \frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}} \right)=\frac{\hbar }{i}\nabla \left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle </math> | |||
Multiplikation mit<math>\left| {\bar{r}} \right\rangle </math>und Aufintegration liefert: | Multiplikation mit<math>\left| {\bar{r}} \right\rangle </math>und Aufintegration liefert: | ||
<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left| {\bar{p}} \right\rangle </math> | |||
Also: | Also: | ||
<math>\hat{\bar{p}}\left| {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left| {\bar{p}} \right\rangle </math>mit dem ABSTRAKTEN ( Darstellungsfreien) Impulsoperator:<math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right|</math> | |||
Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt (einen vollständigen Projektor!) | Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt ( einen vollständigen Projektor !) | ||
-> Bei Anwendung wir die entsprechende Wellenfunktion, egal in welcher Darstellung erst mal auf die entsprechende Darstellung projiziert, in der dann der Operator wirken kann. Man braucht sich keine Sorgen mehr machen. Der Operator <math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right|</math> ist in dieser Weise darstellungsfrei ! | |||
====Verallgemeinerung==== | ====Verallgemeinerung==== | ||
Sei<math>F(\bar{r},\bar{p})</math>eine klassische Observable, beispielsweise der Impuls, die Energie, der Drehimpuls,...), | Sei<math>F(\bar{r},\bar{p})</math>eine klassische Observable, beispielsweise der Impuls, die Energie, der Drehimpuls, ...), | ||
so ergibt sich F als Operator in der Ortsdarstellung: | so ergibt sich F als Operator in der Ortsdarstellung: | ||
<math>F(\bar{r},\bar{p})\to \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )</math> | |||
Der abstrakte (darstellungsfreie Operator) folgt durch Aufintegration der Projektionen (Einschub des Vollständigen Satzes von Eigenfunktionen, auf die projiziert wird, Einschub einer Eins): | Der abstrakte ( darstellungsfreie Operator) folgt durch Aufintegration der Projektionen ( Einschub des Vollständigen Satzes von Eigenfunktionen, auf die projiziert wird, Einschub einer Eins): | ||
<math>\hat{F}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle {\bar{r}} \right|</math> | |||
Umgekehrt, falls die Observable in abstrakter Operatordarstellung gegeben ist: | Umgekehrt, falls die Observable in abstrakter Operatordarstellung gegeben ist: | ||
<math>\left| \Phi \right\rangle :=\hat{F}\left| \Psi \right\rangle </math> | |||
So folgt für die Ortsdarstellung dieses Zustandes | So folgt für die Ortsdarstellung dieses Zustandes | ||
<math>\left\langle {\bar{r}} | \Phi \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|=}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } | \Psi \right\rangle }</math> | |||
Auch hier wurde wieder eine 1, also ein vollständiger Satz von Basisfunktionen eingeschoben. | Auch hier wurde wieder eine 1, also ein vollständiger Satz von Basisfunktionen eingeschoben. | ||
| Line 45: | Line 45: | ||
Somit aber: | Somit aber: | ||
<math>\Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\Psi (\bar{r}\acute{\ })</math> | |||
Im Allgemeinen werden die Operatoren in speziellen Darstellungen, wie der obigen Ortsdarstellung zu LINEAREN INTEGRALOPERATOREN (nichtlokal!) | Im Allgemeinen werden die Operatoren in speziellen Darstellungen, wie der obigen Ortsdarstellung zu LINEAREN INTEGRALOPERATOREN ( nichtlokal!) | ||
Für die Ortsdarstellung für ein Teilchen im Potenzial F gilt speziell | Für die Ortsdarstellung für ein Teilchen im Potenzial F gilt speziell | ||
<math>\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )</math> ( lokaler Differenzialoperator, Lokalisation an r´) | |||
Übungsweise soll der nichtlokale Hamiltonoperator bestimmt werden. | Übungsweise soll der nichtlokale Hamiltonoperator bestimmt werden. | ||
| Line 57: | Line 57: | ||
Ortsoperator: | Ortsoperator: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{\bar{r}}\Psi (\bar{r})=\bar{r}\Psi (\bar{r}) \\ | & \hat{\bar{r}}\Psi (\bar{r})=\bar{r}\Psi (\bar{r}) \\ | ||
| Line 67: | Line 67: | ||
Dabei ist <math>\hat{\bar{r}}</math>der Operator, <math>\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle </math>die Eigenfunktion und <math>\bar{r}</math>der Eigenwert. | Dabei ist <math>\hat{\bar{r}}</math>der Operator, <math>\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle </math>die Eigenfunktion und <math>\bar{r}</math>der Eigenwert. | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } | \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\ | & \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } | \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\ | ||
| Line 77: | Line 77: | ||
In der Impulsdarstellung: | In der Impulsdarstellung: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Phi :=\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle \\ | & \Phi :=\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle \\ | ||
| Line 109: | Line 109: | ||
Also: Für die Impulsdarstellung des Ortsoperators gilt: | Also: Für die Impulsdarstellung des Ortsoperators gilt: | ||
<math>\hat{\bar{r}}\to -\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}</math> | |||
====Energiedarstellung==== | ====Energiedarstellung==== | ||
Sei in der Ortsdarstellung | Sei in der Ortsdarstellung | ||
<math>\hat{H}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{x}^{2}}}+V(x)</math>der eindimensionale Hamiltonoperator | |||
Dazu die Eigenfunktionen: | Dazu die Eigenfunktionen: | ||
<math>\hat{H}{{\phi }_{n}}(x)={{E}_{n}}{{\phi }_{n}}(x)</math>, n=0,1,2,... | |||
Mit <math>{{\phi }_{n}}(x):=\left\langle x | n \right\rangle </math> | Mit <math>{{\phi }_{n}}(x):=\left\langle x | n \right\rangle </math> | ||
<math>\hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x | n \right\rangle ={{E}_{n}}\left\langle x | n \right\rangle </math> | |||
Ergibt sich: | Ergibt sich: | ||
<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left| x \right\rangle \hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x | n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math> | |||
Mit dem darstellungsfreien Hamiltonoperator<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left| x \right\rangle \hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x \right|</math> | Mit dem darstellungsfreien Hamiltonoperator<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left| x \right\rangle \hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x \right|</math> | ||
| Line 132: | Line 132: | ||
Die Orthonormierung verlangt: | Die Orthonormierung verlangt: | ||
<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\phi {{*}_{m}}(x){{\phi }_{n}}(x)=\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left\langle m | x \right\rangle \left\langle x | n \right\rangle =\left\langle m | n \right\rangle ={{\delta }_{mn}}</math> | |||
Bei diskreten Eigenfunktionen. | Bei diskreten Eigenfunktionen. | ||
| Line 138: | Line 138: | ||
Dies ist aber analog zur kontinuierlichen Darstellung: | Dies ist aber analog zur kontinuierlichen Darstellung: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}\acute{\ }-\bar{r}) \\ | & \left\langle {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}\acute{\ }-\bar{r}) \\ | ||
| Line 146: | Line 146: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Häufig (aber nicht immer!!) ist die Energiedarstellung VOLLSTÄNDIG (sie ist beispielsweise beim eindimensionalen harmonischen Oszi vollständig): | Häufig ( aber nicht immer !!) ist die Energiedarstellung VOLLSTÄNDIG ( sie ist beispielsweise beim eindimensionalen harmonischen Oszi vollständig): | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle x | \Psi \right\rangle =\Psi (x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\left\langle n | \Psi \right\rangle \left\langle x | n \right\rangle \\ | & \left\langle x | \Psi \right\rangle =\Psi (x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\left\langle n | \Psi \right\rangle \left\langle x | n \right\rangle \\ | ||
| Line 156: | Line 156: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Vollständigkeitsrelation! | Vollständigkeitsrelation ! | ||
Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist: | Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist: | ||
<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H}}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{E}_{n}}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math> | |||
Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. (Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind) | Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. ( Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind) | ||
<math>\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math>ist dabei der Projektionsoperator auf den n. Eigenzustand. | |||
'''Allgemein gilt:''' | '''Allgemein gilt:''' | ||
| Line 170: | Line 170: | ||
Aus einer Quantenmechanischen Observable wird ein linearer Operator im Hilbertraum: <math>\hat{F}:H\to H</math>. | Aus einer Quantenmechanischen Observable wird ein linearer Operator im Hilbertraum: <math>\hat{F}:H\to H</math>. | ||
Bei reellen Observablen, besser: reellen Erwartungswerten der Observablen muss der zugehörige Operator nicht nur linear, sondern auch hermitesch sein | Bei reellen Observablen , besser: reellen Erwartungswerten der Observablen muss der zugehörige Operator nicht nur linear, sondern auch hermitesch sein | ||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{F}\left( {{\lambda }_{1}}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle \right)={{\lambda }_{1}}\hat{F}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\hat{F}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle \\ | & \hat{F}\left( {{\lambda }_{1}}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle \right)={{\lambda }_{1}}\hat{F}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\hat{F}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle \\ | ||
| Line 184: | Line 184: | ||
Der zu <math>\hat{F}:H\to H</math>adjungierte Operator <math>{{\hat{F}}^{+}}</math>ist definiert durch: | Der zu <math>\hat{F}:H\to H</math>adjungierte Operator <math>{{\hat{F}}^{+}}</math>ist definiert durch: | ||
<math>\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|{{\hat{F}}^{+}}=\left\langle \Phi \right|</math> | |||
Adjungierte Operatoren wirken also nach links | Adjungierte Operatoren wirken also nach links | ||
| Line 190: | Line 190: | ||
In Klammer - und Integraldarstellung schaut dies folgendermaßen aus: | In Klammer - und Integraldarstellung schaut dies folgendermaßen aus: | ||
<math>\left( {{\Psi }_{1}},\hat{F}{{\Psi }_{2}} \right)=\left( {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)\quad \forall {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}\in H</math> | |||
Integraldarstellung in Ortsdarstellung: | Integraldarstellung in Ortsdarstellung: | ||
<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r})\left( \hat{F}{{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r}) \right)\left( {{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)</math> | |||
Def.: ein linearer Operator <math>\hat{F}</math>heißt selbstadjungiert (HERMITESCH), falls: <math>\hat{F}={{\hat{F}}^{+}}</math> | Def.: ein linearer Operator <math>\hat{F}</math>heißt selbstadjungiert (HERMITESCH), falls: <math>\hat{F}={{\hat{F}}^{+}}</math> | ||
<math>\left( {{\Psi }_{1}},\hat{F}{{\Psi }_{2}} \right)=\left( \hat{F}{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)\quad \forall {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}\in H</math> | |||
<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r})\left( \hat{F}{{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \hat{F}{{\Psi }_{1}}(\bar{r}) \right)*\left( {{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)</math> | |||
Die linearen Operatoren bilden eine Algebra. Dabei ist die Multiplikation definiert durch: | Die linearen Operatoren bilden eine Algebra. Dabei ist die Multiplikation definiert durch: | ||
<math>\left( \hat{F}\cdot \hat{G} \right)\left| \Psi \right\rangle =\hat{F}\cdot \left( \hat{G}\left| \Psi \right\rangle \right)</math> | |||
Mit dem Einheitsoperator 1: | Mit dem Einheitsoperator 1: | ||
<math>1\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 1=\hat{F}</math> | |||
Nulloperator 0: | Nulloperator 0: | ||
<math>0\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 0=0</math> | |||
und dem Kommutator: | und dem Kommutator: | ||
<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]:=\hat{F}\cdot \hat{G}-\hat{G}\cdot \hat{F}</math> | |||
Es gilt, was als Übung bewiesen werden kann: | Es gilt, was als Übung bewiesen werden kann: | ||
<math>{{\left( \hat{F}\cdot \hat{G} \right)}^{+}}={{\hat{G}}^{+}}\cdot {{\hat{F}}^{+}}</math> | |||
<math>{{\hat{F}}^{++}}=\hat{F}</math> | |||
Für zusammengesetzte Zustände: | Für zusammengesetzte Zustände: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ | & \left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ | ||
| Line 236: | Line 236: | ||
und | und | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ | & \left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ | ||
| Line 244: | Line 244: | ||
\end{align}</math> Antilinearität | \end{align}</math> Antilinearität | ||
Das Skalarprodukt ist linear im 2. Faktor und antilinear im 1. Faktor! | Das Skalarprodukt ist linear im 2. Faktor und antilinear im 1. Faktor ! | ||
Weitere Relationen: | Weitere Relationen: | ||
<math>{{\left[ \hat{F},\hat{G} \right]}^{+}}={{\hat{G}}^{+}}\cdot {{\hat{F}}^{+}}-{{\hat{F}}^{+}}\cdot {{\hat{G}}^{+}}=\left[ {{{\hat{G}}}^{+}},{{{\hat{F}}}^{+}} \right]</math> | |||
Falls<math>\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{F} \right]=\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{G} \right]=0</math>gilt, so folgt: | Falls<math>\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{F} \right]=\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{G} \right]=0</math>gilt, so folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{{\hat{G}}}}={{e}^{{\hat{G}}}}{{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{\left[ \hat{F},\hat{G} \right]}} \\ | & {{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{{\hat{G}}}}={{e}^{{\hat{G}}}}{{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{\left[ \hat{F},\hat{G} \right]}} \\ | ||
| Line 262: | Line 262: | ||
Außerdem: | Außerdem: | ||
<math>\left[ \hat{F}\hat{G},\hat{H} \right]=\hat{F}\left[ \hat{G},\hat{H} \right]+\left[ \hat{F},\hat{H} \right]\hat{G}</math> | |||
Sowie die Baker- Hausdorff- Identität: | Sowie die Baker- Hausdorff- Identität: | ||
<math>{{e}^{{\hat{F}}}}\hat{G}{{e}^{-\hat{F}}}=\hat{G}+\left[ \hat{F},\hat{G} \right]+\frac{1}{2!}\left[ \hat{F},\left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right]+....</math> Mit <math>{{e}^{{\hat{F}}}}\equiv \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( {\hat{F}} \right)}^{n}}}{n!}}</math> | |||
'''Matrixelemente''' | '''Matrixelemente''' | ||
<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>heißt Matrixelement von <math>\hat{F}</math>mit dem Bra<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|</math>und dem Ket <math>\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math> | |||
Mit | Mit | ||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle :=\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}=\left\langle \Phi \right| \\ | & \hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle :=\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}=\left\langle \Phi \right| \\ | ||
| Line 284: | Line 284: | ||
Also: | Also: | ||
<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{\hat{F}}^{+}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle *</math> | |||
Für hermitesche Operatoren gilt: | Für hermitesche Operatoren gilt: | ||
<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle *</math> | |||
====Erwartungswerte==== | ====Erwartungswerte==== | ||
<math>\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r})\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\Psi (\bar{r})}</math> in Ortsdartellung | |||
<math>\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi | {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle }=\left\langle \Psi \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi \right\rangle </math> | |||
Für hermitesche Operatoren sind die Erwartungswerte immer reell: | Für hermitesche Operatoren sind die Erwartungswerte immer reell: | ||
<math>\left\langle \Psi \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi \right\rangle *</math> | |||
Umgekehrt gilt:Operatoren mit reellen Eigenwerten sind hermitesch! (im Allgemeinen). | Umgekehrt gilt:Operatoren mit reellen Eigenwerten sind hermitesch ! ( im Allgemeinen). | ||
Physikalische Observablen sind also immer durch hermitesche Operatoren darzustellen | Physikalische Observablen sind also immer durch hermitesche Operatoren darzustellen | ||