Editing Normalschwingungen
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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|6}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|6}}</noinclude> | ||
Anwendung: Kleine Schwingungen eines Systems von Massepunkten | Anwendung: Kleine Schwingungen eines Systems von Massepunkten | ||
<math>{{m}_{i}}</math> | |||
Die Zwangsbedingungen seien | Die Zwangsbedingungen seien holonom und skleronom. | ||
Außerdem sei das Potenzial beliebig | Außerdem sei das Potenzial beliebig | ||
<math>V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math> | |||
es existiere lediglich eine stabile Ruhelage. | es existiere lediglich eine stabile Ruhelage. | ||
Dazu wähle man | Dazu wähle man generalisierte Koordinaten ( f Stück) mit der Ruhelage 0 | ||
Man kann an dieses Problem herangehen, indem die potenzielle Energie um die Ruhelage entwickelt wird: | |||
<math>V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=V(0,....,0)+\sum\limits_{j}{{{\left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}+...}}</math> | |||
Der erste Term kann gleich Null gesetzt werden ( Skalenverschiebung bei Potenzialen). Dies entspricht einer Skalenverschiebung der Energie. | |||
Im Zweiten Term tauchen jedoch die verallgemeinerten Kräfte ( von außen) auf. Wenn diese nicht existieren, so ist dieser Term ebenfalls Null: | |||
<math>\begin{align} | |||
& V(0,....,0)=0 \\ | & V(0,....,0)=0 \\ | ||
& \sum\limits_{j}{{{\left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}}=0\quad \left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)=-{{Q}_{j}}=0 \\ | & \sum\limits_{j}{{{\left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}}=0\quad \left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)=-{{Q}_{j}}=0 \\ | ||
Line 35: | Line 38: | ||
Für kleine Schwingungen hinreichend genau erhalten wir also in niedrigster Näherung grundsätzlich harmonische Schwingungen in einem q²- Potenzial : | Für kleine Schwingungen hinreichend genau erhalten wir also in niedrigster Näherung grundsätzlich harmonische Schwingungen in einem q²- Potenzial : | ||
Das Potenzial ergibt eine positiv definite quadratische Form (positiv definit, da Ruhelage stabil!) | Das Potenzial ergibt eine positiv definite quadratische Form ( positiv definit, da Ruhelage stabil !) | ||
<math>V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\approx \frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\ge 0}\quad \quad {{V}_{jk}}={{V}_{kj}}</math> | |||
Line 44: | Line 47: | ||
<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2}}\ge 0</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\vec{v}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right){{{\dot{q}}}_{j}} \\ | & {{{\vec{v}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right){{{\dot{q}}}_{j}} \\ | ||
& T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}\left( \sum\limits_{j,k}{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)\ge 0 \\ | & T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}\left( \sum\limits_{j,k}{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)\ge 0 \\ | ||
Line 56: | Line 59: | ||
Die Auswertung der Ableitungen des Radiusvektor an der Ruhelage (0) gilt dann als niedrigste (quadratische) Näherung für kleine Schwingungen. | Die Auswertung der Ableitungen des Radiusvektor an der Ruhelage (0) gilt dann als niedrigste ( quadratische) Näherung für kleine Schwingungen. | ||
Auch die kinetische Energie ist in unserem Fall nun eine positiv definite quadratische Form. | Auch die kinetische Energie ist in unserem Fall nun eine positiv definite quadratische Form. | ||
Line 63: | Line 66: | ||
<math>\begin{align} | |||
& L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\ | & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\ | ||
& \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( {{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\left( {{\delta }_{jl}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{{\dot{q}}}_{j}}=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}} \\ | & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( {{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\left( {{\delta }_{jl}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{{\dot{q}}}_{j}}=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}} \\ | ||
Line 71: | Line 74: | ||
<u>'''Einschub: Transformation auf Kugelkoordinaten:'''</u> | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left( r,\vartheta ,\phi \right)=\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right) \\ | & \left( r,\vartheta ,\phi \right)=\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right) \\ | ||
& x=r\cos \phi \sin \vartheta \\ | & x=r\cos \phi \sin \vartheta \\ | ||
Line 83: | Line 86: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\vec{v}}}_{{}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{{}}}}{\partial {{q}_{j}}} \right){{{\dot{q}}}_{j}} \\ | & {{{\vec{v}}}_{{}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{{}}}}{\partial {{q}_{j}}} \right){{{\dot{q}}}_{j}} \\ | ||
& \\ | & \\ | ||
Line 92: | Line 95: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=\frac{\partial x}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial x}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial x}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \cos \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \cos \phi \dot{\vartheta }-r\sin \vartheta \sin \phi \dot{\phi } \\ | & {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=\frac{\partial x}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial x}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial x}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \cos \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \cos \phi \dot{\vartheta }-r\sin \vartheta \sin \phi \dot{\phi } \\ | ||
& {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial y}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial y}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \sin \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \sin \phi \dot{\vartheta }+r\sin \vartheta \cos \phi \dot{\phi } \\ | & {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial y}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial y}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \sin \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \sin \phi \dot{\vartheta }+r\sin \vartheta \cos \phi \dot{\phi } \\ | ||
Line 103: | Line 106: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | |||
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \vartheta } & \frac{\partial x}{\partial \phi } \\ | \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \vartheta } & \frac{\partial x}{\partial \phi } \\ | ||
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \vartheta } & \frac{\partial y}{\partial \phi } \\ | \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \vartheta } & \frac{\partial y}{\partial \phi } \\ | ||
Line 115: | Line 118: | ||
<math>\begin{align} | |||
& T=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \\ | & T=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \\ | ||
& {{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}} \\ | & {{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}} \\ | ||
Line 123: | Line 126: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{T}_{11}}=m\left( {{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta \right)=m \\ | & {{T}_{11}}=m\left( {{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta \right)=m \\ | ||
& {{T}_{22}}=m{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta \right)=m{{r}^{2}} \\ | & {{T}_{22}}=m{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta \right)=m{{r}^{2}} \\ | ||
Line 132: | Line 135: | ||
Diese Wert hängen dabei von den gewählten Koordinaten, also den qj ab. | Diese Wert hängen dabei von den gewählten Koordinaten, also den qj ab. | ||
Aus diesem Grund (um dies zu erreichen) wurden ja gerade die qj so eingeführt. | Aus diesem Grund ( um dies zu erreichen) wurden ja gerade die qj so eingeführt. | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{T}_{12}}={{T}_{21}}=mr\left( \sin \vartheta \cos \phi \cos \vartheta \cos \phi +\sin \vartheta \sin \phi \cos \vartheta \sin \phi -\sin \vartheta \cos \vartheta \right)=0 \\ | & {{T}_{12}}={{T}_{21}}=mr\left( \sin \vartheta \cos \phi \cos \vartheta \cos \phi +\sin \vartheta \sin \phi \cos \vartheta \sin \phi -\sin \vartheta \cos \vartheta \right)=0 \\ | ||
& {{T}_{13}}={{T}_{31}}=0 \\ | & {{T}_{13}}={{T}_{31}}=0 \\ | ||
Line 143: | Line 146: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{T}_{jk}}=\left( \begin{matrix} | & {{T}_{jk}}=\left( \begin{matrix} | ||
m & 0 & 0 \\ | m & 0 & 0 \\ | ||
Line 152: | Line 155: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Zurück: | Zurück: | ||
<math>\begin{align} | |||
& L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\ | & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\ | ||
& \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( {{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\left( {{\delta }_{jl}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{{\dot{q}}}_{j}}=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}} \\ | & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( {{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\left( {{\delta }_{jl}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{{\dot{q}}}_{j}}=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}} \\ | ||
Line 170: | Line 173: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\ | & {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\ | ||
& \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\ | & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\ | ||
Line 183: | Line 186: | ||
<math>\det \left( {{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}} \right)=0</math> | |||
Line 189: | Line 192: | ||
<math>{{V}_{lk}},{{T}_{lk}}positiv\ definit\Rightarrow {{\omega }^{2}}>0</math> | |||
für alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms. | für alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms. | ||
Line 195: | Line 198: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{*}} \right. \\ | & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{*}} \right. \\ | ||
& \sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}-}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=0 \\ | & \sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}-}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=0 \\ | ||
Line 210: | Line 213: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\ | & {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\ | ||
& \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\ | & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\ | ||
Line 217: | Line 220: | ||
sind die Eigenfrequenzen | sind die Eigenfrequenzen | ||
<math>{{\omega }^{2}}_{a}\quad a=1,...,f</math> | |||
und die Eigenvektoren | und die Eigenvektoren | ||
<math>{{A}_{k}}^{(a)}\quad a=1,...,f</math> | |||
Line 229: | Line 232: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{q}_{k}}(t)=\operatorname{Re}\left\{ \sum\limits_{a=1}^{f}{{{C}_{a}}}{{A}_{k}}^{(a)}{{e}^{i{{w}_{a}}t}} \right\} \\ | & {{q}_{k}}(t)=\operatorname{Re}\left\{ \sum\limits_{a=1}^{f}{{{C}_{a}}}{{A}_{k}}^{(a)}{{e}^{i{{w}_{a}}t}} \right\} \\ | ||
& \\ | & \\ | ||
\end{align}</math> Die <math>{{C}_{a}}</math> | \end{align}</math> | ||
Die | |||
<math>{{C}_{a}}</math> | |||
werden durch die Anfangsbedingungen | werden durch die Anfangsbedingungen | ||
<math>{{q}_{k}}(0),{{\dot{q}}_{k}}(0)</math> | |||
bestimmt | bestimmt | ||
<u>'''Normalkoordinaten'''</u> | |||
Ziel: | Ziel: | ||
Line 244: | Line 251: | ||
Seien diese neuen Koordinaten | Seien diese neuen Koordinaten | ||
<math>{{Q}_{j}}</math> | |||
so soll gelten: | so soll gelten: | ||
<math>{{\ddot{Q}}_{j}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{j}}=0\quad j=1,...,f</math> | |||
Dies wird bekanntlich erreicht durch eine | Dies wird bekanntlich erreicht durch eine Hauptachsentransformation der symmetrischen Matrizen Vlk und Tlk | ||
Die Transformation ist das | Die Transformation ist das Diagonalisierungsverfahren. Dazu werden reell gewählte Eigenvektoren | ||
<math>{{A}_{k}}^{(a)}</math> | |||
eingesetzt. In diesen müssen sich dann die generalisierten Koordinaten mit den | eingesetzt. In diesen müssen sich dann die generalisierten Koordinaten mit den Normalkoordinaten als Entwicklungskoeffizienten darstellen lassen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{q}_{k}}(t)=\sum\limits_{a=1}^{f}{{}}{{A}_{k}}^{(a)}{{Q}_{a}} \\ | & {{q}_{k}}(t)=\sum\limits_{a=1}^{f}{{}}{{A}_{k}}^{(a)}{{Q}_{a}} \\ | ||
& \\ | & \\ | ||
Line 270: | Line 277: | ||
<math>\vec{q}=A\vec{Q}\quad mit\ \vec{q},\vec{Q}\in {{R}^{f}}</math> | |||
Line 280: | Line 287: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{b}} \right. \\ | & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{b}} \right. \\ | ||
& \sum\limits_{l}{({{V}_{kl}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{l}}^{b}=0\left| \cdot \sum\limits_{k}{{{A}_{k}}^{b}} \right.} \\ | & \sum\limits_{l}{({{V}_{kl}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{l}}^{b}=0\left| \cdot \sum\limits_{k}{{{A}_{k}}^{b}} \right.} \\ | ||
Line 287: | Line 294: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{b}({{V}_{lk}}-{{V}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}-{{A}_{l}}^{b}({{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}}=0 \\ | & \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{b}({{V}_{lk}}-{{V}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}-{{A}_{l}}^{b}({{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}}=0 \\ | ||
& {{V}_{lk}}={{V}_{kl}} \\ | & {{V}_{lk}}={{V}_{kl}} \\ | ||
Line 297: | Line 304: | ||
<math>{{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}\ne 0</math> | |||
Die Eigenwerte sind nicht entartet, natürlich für verschiedene a/b | Die Eigenwerte sind nicht entartet, natürlich für verschiedene a/b | ||
Line 303: | Line 310: | ||
<math>\sum\limits_{k,l}{{}}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}</math> | |||
Im wesentlichen ist dieser Ausruck (die transformierte kinetische Energie)Null für verschiedene a und b. Bei geeigneter Normierung kann er für a=b gleich 1 gesetzt werden. | Im wesentlichen ist dieser Ausruck ( die transformierte kinetische Energie)Null für verschiedene a und b. Bei geeigneter Normierung kann er für a=b gleich 1 gesetzt werden. | ||
Die Trafo ist also eine verallgemeinerte orthogonale Trafo. | Die Trafo ist also eine verallgemeinerte orthogonale Trafo. | ||
Line 313: | Line 320: | ||
<math>\sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{b}} \right.</math> | |||
dass | |||
<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0} \\ | & \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0} \\ | ||
& \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}{{A}_{k}}^{a})=\sum\limits_{k,l}{{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}}}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}} \\ | & \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}{{A}_{k}}^{a})=\sum\limits_{k,l}{{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}}}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}} \\ | ||
Line 321: | Line 334: | ||
Also werden Tlk und Vlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert. | Also werden Tlk und Vlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert. | ||
Lagrangefunktion: | |||
<math>\begin{align} | |||
& L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\ | & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\ | ||
& L=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{a,b}{\left( \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{{\dot{Q}}}_{a}}{{{\dot{Q}}}_{b}}-\sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{Q}_{a}}{{Q}_{b}}}} \right)} \right) \\ | & L=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{a,b}{\left( \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{{\dot{Q}}}_{a}}{{{\dot{Q}}}_{b}}-\sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{Q}_{a}}{{Q}_{b}}}} \right)} \right) \\ | ||
Line 336: | Line 349: | ||
<math>{{\ddot{Q}}_{a}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{a}}=0\quad a=1,...,f</math> | |||
<u>'''Beispiel: Pendel'''</u> | |||
Leicht kann man sich an einer Skizze klar machen: | Leicht kann man sich an einer Skizze klar machen: | ||
<math>z=l(1-\cos \phi )</math> | |||
Line 350: | Line 363: | ||
<math>q=s=\phi l</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& T=\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}} \\ | & T=\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}} \\ | ||
& V=mgz=mgl(1-\cos \phi )\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}^{2}} \\ | & V=mgz=mgl(1-\cos \phi )\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}^{2}} \\ | ||
Line 360: | Line 373: | ||
Die Entwicklung des Potenzials kann auführlich gezeigt werden. | Die Entwicklung des Potenzials kann auführlich gezeigt werden. | ||
Nun seien zwei Pendel über eine Feder der Federkonstante k gekoppelt: | Nun seien zwei Pendel über eine Feder der Federkonstante k gekoppelt: | ||
'''Zwei gekoppelte Pendel''' | <u>'''Zwei gekoppelte Pendel'''</u> | ||
Hier nehmen wir für beide Pendel generalisierte Koordinaten: | Hier nehmen wir für beide Pendel generalisierte Koordinaten: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{q}_{1}}={{s}_{1}}={{\phi }_{1}}l \\ | & {{q}_{1}}={{s}_{1}}={{\phi }_{1}}l \\ | ||
& {{q}_{2}}={{s}_{2}}={{\phi }_{1}}l \\ | & {{q}_{2}}={{s}_{2}}={{\phi }_{1}}l \\ | ||
Line 378: | Line 389: | ||
<math>\begin{align} | |||
& T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\ | & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\ | ||
& V=mg{{z}_{1}}+mg{{z}_{2}}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=mgl(1-\cos \frac{{{q}_{1}}}{l})+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}+mgl(1-\cos \frac{{{q}_{2}}}{l}) \\ | & V=mg{{z}_{1}}+mg{{z}_{2}}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=mgl(1-\cos \frac{{{q}_{1}}}{l})+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}+mgl(1-\cos \frac{{{q}_{2}}}{l}) \\ | ||
Line 388: | Line 399: | ||
<math>V\approx \frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\sum\limits_{j,k=1}^{2}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\quad Forderung!}</math> | |||
Line 394: | Line 405: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}^{2}} \right)}_{0}}={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{2}}^{2}} \right)}_{0}}=m\frac{g}{l}+k \\ | & {{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}^{2}} \right)}_{0}}={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{2}}^{2}} \right)}_{0}}=m\frac{g}{l}+k \\ | ||
& \left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}\partial {{q}_{2}}} \right)=mg\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}(\sin \frac{{{q}_{2}}}{l})-k\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=-k \\ | & \left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}\partial {{q}_{2}}} \right)=mg\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}(\sin \frac{{{q}_{2}}}{l})-k\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=-k \\ | ||
Line 402: | Line 413: | ||
Somit läßt sich die kinetische Energie angeben: | Somit läßt sich die kinetische Energie angeben: | ||
Somit lassen sich | Somit lassen sich kinetische Energie und Potenzial als Matrizen angeben: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{T}_{lk}}=\left( \begin{matrix} | & {{T}_{lk}}=\left( \begin{matrix} | ||
m & 0 \\ | m & 0 \\ | ||
Line 418: | Line 429: | ||
<math>\begin{align} | |||
& T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\ | & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\ | ||
& V\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+\frac{1}{2}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\ | & V\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+\frac{1}{2}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\ | ||
Line 425: | Line 436: | ||
Die | Die Bewegungsgleichungen ergeben sich als: | ||
<math>\begin{align} | |||
& m{{{\ddot{q}}}_{1}}+\frac{g}{l}m{{q}_{1}}+k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\ | & m{{{\ddot{q}}}_{1}}+\frac{g}{l}m{{q}_{1}}+k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\ | ||
& m{{{\ddot{q}}}_{2}}+\frac{g}{l}m{{q}_{2}}-k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\ | & m{{{\ddot{q}}}_{2}}+\frac{g}{l}m{{q}_{2}}-k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\ | ||
Line 439: | Line 450: | ||
<math>{{q}_{k}}={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}</math> | |||
Die resultierende | Die resultierende Eigenwertgleichung lautet: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | |||
m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}} & -k \\ | m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}} & -k \\ | ||
-k & m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}} \\ | -k & m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}} \\ | ||
Line 457: | Line 468: | ||
<math>\begin{align} | |||
& 0=\det ({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}})={{m}^{2}}\left| \begin{matrix} | & 0=\det ({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}})={{m}^{2}}\left| \begin{matrix} | ||
\frac{g}{l}+\frac{k}{m}-{{\omega }^{2}} & -\frac{k}{m} \\ | \frac{g}{l}+\frac{k}{m}-{{\omega }^{2}} & -\frac{k}{m} \\ | ||
Line 467: | Line 478: | ||
<math>{{\omega }_{1,2}}^{2}=\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right)\pm {{\left( \frac{k}{m} \right)}^{{}}}=\left\{ \begin{matrix} | |||
\frac{g}{l} \\ | \frac{g}{l} \\ | ||
\frac{g}{l}+2\left( \frac{k}{m} \right) \\ | \frac{g}{l}+2\left( \frac{k}{m} \right) \\ | ||
Line 473: | Line 484: | ||
Somit kennt das System die folgenden | Somit kennt das System die folgenden Eigenfrequenzen: | ||
<math>{{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{g}{l}}:={{\omega }_{0}}</math> | |||
Line 482: | Line 493: | ||
<math>{{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}}:={{\sqrt{{{\omega }_{0}}^{2}+2{{{\tilde{\omega }}}^{2}}}}_{{}}}</math> | |||
Line 488: | Line 499: | ||
<math>\left( m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }_{a}}^{2} \right){{A}_{1}}^{a}-k{{A}_{2}}^{a}=0</math> | |||
Line 494: | Line 505: | ||
<math>k{{A}_{1}}^{1}-k{{A}_{2}}^{1}=0\Rightarrow \left( \begin{matrix} | |||
{{A}_{1}}^{1} \\ | {{A}_{1}}^{1} \\ | ||
{{A}_{2}}^{1} \\ | {{A}_{2}}^{1} \\ | ||
Line 507: | Line 518: | ||
In | In Normalkoordinaten gilt für die Lösung des Ortes: | ||
<math>{{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}^{1}{{Q}_{1}}+{{A}_{k}}^{2}{{Q}_{2}}</math> | |||
Line 518: | Line 529: | ||
<math>\left( \begin{matrix} | |||
{{Q}_{1}} \\ | {{Q}_{1}} \\ | ||
{{Q}_{2}} \\ | {{Q}_{2}} \\ | ||
Line 530: | Line 541: | ||
Mit der zu oben transponierten Matrix (Umkehrung) | Mit der zu oben transponierten Matrix ( Umkehrung) | ||
Die Eigenvektoren sind so zu normieren, dass: | Die Eigenvektoren sind so zu normieren, dass: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{a}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}=m\sum\limits_{k}{{{\left| {{A}_{k}}^{a} \right|}^{2}}}=1} \\ | & \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{a}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}=m\sum\limits_{k}{{{\left| {{A}_{k}}^{a} \right|}^{2}}}=1} \\ | ||
& \Rightarrow \left( \begin{matrix} | & \Rightarrow \left( \begin{matrix} | ||
Line 557: | Line 568: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{Q}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}+{{q}_{2}})\quad | & {{Q}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}+{{q}_{2}})\quad SChwerpunktskoordinaten \\ | ||
& {{Q}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})\quad | & {{Q}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})\quad \operatorname{Re}lativkoordinaten \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
An | An Normalschwingungen existiert somit: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{g}{l}} \\ | & {{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{g}{l}} \\ | ||
& {{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}} \\ | & {{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}} \\ |