Editing Normalschwingungen

{{Scripthinweis|Mechanik|1|6}}
Anwendung: Kleine Schwingungen eines Systems von Massepunkten
<math>{{m}_{i}}</math>


Die Zwangsbedingungen seien holonom und skleronom.

Außerdem sei das Potenzial beliebig


<math>V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math>


es existiere lediglich eine stabile Ruhelage.

Dazu wähle man generalisierte Koordinaten ( f Stück) mit der Ruhelage 0

Man kann an dieses Problem herangehen, indem die potenzielle Energie um die Ruhelage entwickelt wird:


<math>V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=V(0,....,0)+\sum\limits_{j}{{{\left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}+...}}</math>


Der erste Term kann gleich Null gesetzt werden ( Skalenverschiebung bei Potenzialen). Dies entspricht einer Skalenverschiebung der Energie.

Im Zweiten Term tauchen jedoch die verallgemeinerten Kräfte ( von außen) auf. Wenn diese nicht existieren, so ist dieser Term ebenfalls Null:


<math>\begin{align}
  & V(0,....,0)=0 \\
 & \sum\limits_{j}{{{\left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}}=0\quad \left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)=-{{Q}_{j}}=0 \\
 & \frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}} \\
\end{align}</math>


Für kleine Schwingungen hinreichend genau erhalten wir also in niedrigster Näherung grundsätzlich harmonische Schwingungen in einem q²- Potenzial :

Das Potenzial ergibt eine positiv definite quadratische Form ( positiv definit, da Ruhelage stabil !)


<math>V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\approx \frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\ge 0}\quad \quad {{V}_{jk}}={{V}_{kj}}</math>


Ansatz für die kinetische Energie:


<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2}}\ge 0</math>



<math>\begin{align}
  & {{{\vec{v}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right){{{\dot{q}}}_{j}} \\
 & T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}\left( \sum\limits_{j,k}{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)\ge 0 \\
 & T=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \\
 & {{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}} \\
\end{align}</math>


Die Auswertung der Ableitungen des Radiusvektor an der Ruhelage (0) gilt dann als niedrigste ( quadratische) Näherung für kleine Schwingungen.

Auch die kinetische Energie ist in unserem Fall nun  eine positiv definite quadratische Form.

Die Lagrangegleichung 2. Art ist somit vollständig bestimmt:


<math>\begin{align}
  & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\
 & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( {{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\left( {{\delta }_{jl}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{{\dot{q}}}_{j}}=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}} \\
 & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right)=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\ddot{q}}}_{k}} \\
 & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}=-\sum\limits_{k}{{{V}_{lk}}{{q}_{k}}} \\
\end{align}</math>


<u>'''Einschub: Transformation auf Kugelkoordinaten:'''</u>


<math>\begin{align}
  & \left( r,\vartheta ,\phi  \right)=\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right) \\
 & x=r\cos \phi \sin \vartheta  \\
 & y=r\sin \phi \sin \vartheta  \\
 & z=r\cos \vartheta  \\
\end{align}</math>



<math>\begin{align}
  & {{{\vec{v}}}_{{}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{{}}}}{\partial {{q}_{j}}} \right){{{\dot{q}}}_{j}} \\
 &  \\
\end{align}</math>


In Komponenten ergibt sich somit:


<math>\begin{align}
  & {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=\frac{\partial x}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial x}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial x}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \cos \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \cos \phi \dot{\vartheta }-r\sin \vartheta \sin \phi \dot{\phi } \\
 & {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial y}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial y}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \sin \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \sin \phi \dot{\vartheta }+r\sin \vartheta \cos \phi \dot{\phi } \\
 & {{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial z}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial z}{\partial \phi }\dot{\phi }=\cos \vartheta \dot{r}-r\sin \vartheta \dot{\vartheta } \\
 &  \\
\end{align}</math>


Es läßt sich eine Funktionalmatrix zusammenstellen:


<math>\left( \begin{matrix}
   \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \vartheta } & \frac{\partial x}{\partial \phi }  \\
   \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \vartheta } & \frac{\partial y}{\partial \phi }  \\
   \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \vartheta } & \frac{\partial z}{\partial \phi }  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   \sin \vartheta \cos \phi  & r\cos \vartheta \cos \phi  & -r\sin \vartheta \sin \phi   \\
   in\vartheta \sin \phi  & r\cos \vartheta \sin \phi  & r\sin \vartheta \cos \phi   \\
   \cos \vartheta  & -r\sin \vartheta  & 0  \\
\end{matrix} \right)</math>



<math>\begin{align}
  & T=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \\
 & {{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}} \\
 & {{T}_{jk}}=m\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial x}{\partial {{q}_{k}}} \right)+\left( \frac{\partial y}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial y}{\partial {{q}_{k}}} \right)+\left( \frac{\partial z}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial z}{\partial {{q}_{k}}} \right) \right] \\
\end{align}</math>



<math>\begin{align}
  & {{T}_{11}}=m\left( {{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta  \right)=m \\
 & {{T}_{22}}=m{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta  \right)=m{{r}^{2}} \\
 & {{T}_{33}}=m{{r}^{2}}({{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi )=m{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta  \\
\end{align}</math>


Diese Wert hängen dabei von den gewählten Koordinaten, also den qj ab.

Aus diesem Grund ( um dies zu erreichen) wurden ja gerade die qj so eingeführt.


<math>\begin{align}
  & {{T}_{12}}={{T}_{21}}=mr\left( \sin \vartheta \cos \phi \cos \vartheta \cos \phi +\sin \vartheta \sin \phi \cos \vartheta \sin \phi -\sin \vartheta \cos \vartheta  \right)=0 \\
 & {{T}_{13}}={{T}_{31}}=0 \\
 & {{T}_{23}}={{T}_{32}}=0 \\
\end{align}</math>



<math>\begin{align}
  & {{T}_{jk}}=\left( \begin{matrix}
   m & 0 & 0  \\
   0 & m{{r}^{2}} & 0  \\
   0 & 0 & m{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta   \\
\end{matrix} \right) \\
 & T=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\vartheta }}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{{\dot{\phi }}}^{2}} \right) \\
\end{align}</math>


Zurück:


<math>\begin{align}
  & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\
 & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( {{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\left( {{\delta }_{jl}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{{\dot{q}}}_{j}}=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}} \\
 & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right)=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\ddot{q}}}_{k}} \\
 & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}=-\sum\limits_{k}{{{V}_{lk}}{{q}_{k}}} \\
 & \Rightarrow \sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+{{V}_{lk}}{{q}_{k}}=0\quad \quad l=1,...,f \\
\end{align}</math>


Somit haben wir ein System von f linearen Differenzialgleichungen gegeben.

Bekanntlich eignet sich als Ansatz für die Lösung:


<math>\begin{align}
  & {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\
 & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\
\end{align}</math>


Dies ist eine Eigenwertgleichung für w²

Bei gegebenen w² liegt ein lineares Gleichungssystem für die Ak vor:

Eine nichttriviale Lösung existiert aber genau dann, wenn


<math>\det \left( {{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}} \right)=0</math>


Dies ist die charakteristische Gleichung für w², die sogenannte Säkulargleichung, ein Polynom f-ten Grades.


<math>{{V}_{lk}},{{T}_{lk}}positiv\ definit\Rightarrow {{\omega }^{2}}>0</math>
für alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

<u>Beweis:</u>


<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{*}} \right. \\
 & \sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}-}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=0 \\
 & {{\omega }^{2}}=\frac{\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}}{\sum\limits_{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}} \\
 & \sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{kl}}{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}}=}\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}\left( {{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}+{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}} \right)=}\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}2\cdot \operatorname{Re}\left( {{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}} \right)} \\
\end{align}</math>
Also handelt es sich hierbei um eine reelle quadratische Form. Nun sind Vlk  und Tlk positiv definite Matrizen.

Zähler und Nenner sind aber reelle quadratische Formen.

Was zur Folge hat, dass w²>0

Die Lösungen des Gleichungssystems


<math>\begin{align}
  & {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\
 & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\
\end{align}</math>


sind die Eigenfrequenzen
<math>{{\omega }^{2}}_{a}\quad a=1,...,f</math>


und die Eigenvektoren
<math>{{A}_{k}}^{(a)}\quad a=1,...,f</math>


Wobei die Eigenvektoren nur bis auf einen Normierungsfaktor bestimmt sind und reell gewählt werden können.

Die allgemeine Lösung für die verallgemeinerten Kooridnaten lautet:


<math>\begin{align}
  & {{q}_{k}}(t)=\operatorname{Re}\left\{ \sum\limits_{a=1}^{f}{{{C}_{a}}}{{A}_{k}}^{(a)}{{e}^{i{{w}_{a}}t}} \right\} \\
 &  \\
\end{align}</math>


Die
<math>{{C}_{a}}</math>
werden durch die Anfangsbedingungen
<math>{{q}_{k}}(0),{{\dot{q}}_{k}}(0)</math>
bestimmt

<u>'''Normalkoordinaten'''</u>

Ziel:

Transformiere auf neue generalisierte Koordinaten, so dass die Bewegungsgleichungen für die Koordinaten entkoppeln.

Seien diese neuen Koordinaten
<math>{{Q}_{j}}</math>
so soll gelten:


<math>{{\ddot{Q}}_{j}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{j}}=0\quad j=1,...,f</math>


Dies wird bekanntlich erreicht durch eine Hauptachsentransformation der symmetrischen Matrizen Vlk  und Tlk

Die Transformation ist das Diagonalisierungsverfahren. Dazu werden reell gewählte Eigenvektoren


<math>{{A}_{k}}^{(a)}</math>
 eingesetzt. In diesen müssen sich dann die generalisierten Koordinaten mit den Normalkoordinaten als Entwicklungskoeffizienten darstellen lassen:


<math>\begin{align}
  & {{q}_{k}}(t)=\sum\limits_{a=1}^{f}{{}}{{A}_{k}}^{(a)}{{Q}_{a}} \\
 &  \\
\end{align}</math>


Die diagonalisierte Matrix kann die Koordinatentransformation als Abbildung vollständig darstellen:



<math>\vec{q}=A\vec{Q}\quad mit\ \vec{q},\vec{Q}\in {{R}^{f}}</math>




Bleibt zu zeigen, dass Vlk  und Tlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert werden:

Es gelten die Eigenwertgleichungen:


<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{b}} \right. \\
 & \sum\limits_{l}{({{V}_{kl}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{l}}^{b}=0\left| \cdot \sum\limits_{k}{{{A}_{k}}^{b}} \right.} \\
\end{align}</math>



<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{b}({{V}_{lk}}-{{V}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}-{{A}_{l}}^{b}({{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}}=0 \\
 & {{V}_{lk}}={{V}_{kl}} \\
 & \sum\limits_{k,l}{({{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}){{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}}=0 \\
\end{align}</math>


Die Annahme lautet nun noch:


<math>{{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}\ne 0</math>
Die Eigenwerte sind nicht entartet, natürlich für verschiedene a/b

Somit folgt jedoch


<math>\sum\limits_{k,l}{{}}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}</math>


Im wesentlichen ist dieser Ausruck ( die transformierte kinetische Energie)Null für verschiedene a und b. Bei geeigneter Normierung kann er für a=b gleich 1 gesetzt werden.

Die Trafo ist also eine verallgemeinerte orthogonale Trafo.

Es folgt wegen


<math>\sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{b}} \right.</math>


dass


<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0} \\
 & \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}{{A}_{k}}^{a})=\sum\limits_{k,l}{{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}}}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}} \\
\end{align}</math>


Also werden Tlk und Vlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert.

Lagrangefunktion:


<math>\begin{align}
  & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\
 & L=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{a,b}{\left( \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{{\dot{Q}}}_{a}}{{{\dot{Q}}}_{b}}-\sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{Q}_{a}}{{Q}_{b}}}} \right)} \right) \\
 & \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}} \\
 & \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}}} \\
 & L=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{a}{\left( {{{\dot{Q}}}_{a}}^{2}-{{\omega }_{a}}^{2}{{Q}_{a}}^{2} \right)} \right) \\
\end{align}</math>


In der tat entkoppeln nun die Bewegungsgleichungen:


<math>{{\ddot{Q}}_{a}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{a}}=0\quad a=1,...,f</math>


<u>'''Beispiel: Pendel'''</u>

Leicht kann man sich an einer Skizze klar machen:


<math>z=l(1-\cos \phi )</math>


Als verallgemeinerte Koordinate kann man die Bogenlänge wählen:


<math>q=s=\phi l</math>



<math>\begin{align}
  & T=\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}} \\
 & V=mgz=mgl(1-\cos \phi )\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}^{2}} \\
\end{align}</math>


Die Entwicklung des Potenzials kann auführlich gezeigt werden.

Nun seien zwei Pendel über eine Feder der Federkonstante k gekoppelt:

<u>'''Zwei gekoppelte Pendel'''</u>

Hier nehmen wir für beide Pendel generalisierte Koordinaten:


<math>\begin{align}
  & {{q}_{1}}={{s}_{1}}={{\phi }_{1}}l \\
 & {{q}_{2}}={{s}_{2}}={{\phi }_{1}}l \\
\end{align}</math>



<math>\begin{align}
  & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\
 & V=mg{{z}_{1}}+mg{{z}_{2}}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=mgl(1-\cos \frac{{{q}_{1}}}{l})+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}+mgl(1-\cos \frac{{{q}_{2}}}{l}) \\
 & V\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+\frac{1}{2}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\
\end{align}</math>


Nun kann gefordert werden:


<math>V\approx \frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\sum\limits_{j,k=1}^{2}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\quad Forderung!}</math>


Dies läßt sich direkt über die mehrdimensionale Taylorreihe zeigen, Mit Hilfe der Multiindizes:


<math>\begin{align}
  & {{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}^{2}} \right)}_{0}}={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{2}}^{2}} \right)}_{0}}=m\frac{g}{l}+k \\
 & \left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}\partial {{q}_{2}}} \right)=mg\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}(\sin \frac{{{q}_{2}}}{l})-k\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=-k \\
\end{align}</math>


Somit läßt sich die kinetische Energie angeben:

Somit lassen sich kinetische Energie und Potenzial als Matrizen angeben:


<math>\begin{align}
  & {{T}_{lk}}=\left( \begin{matrix}
   m & 0  \\
   0 & m  \\
\end{matrix} \right) \\
 & {{V}_{lk}}=\left( \begin{matrix}
   m\frac{g}{l}+k & -k  \\
   -k & m\frac{g}{l}+k  \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>



<math>\begin{align}
  & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\
 & V\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+\frac{1}{2}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\
 & L=T-V=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2})-\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\
\end{align}</math>


Die Bewegungsgleichungen ergeben sich als:


<math>\begin{align}
  & m{{{\ddot{q}}}_{1}}+\frac{g}{l}m{{q}_{1}}+k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\
 & m{{{\ddot{q}}}_{2}}+\frac{g}{l}m{{q}_{2}}-k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\
\end{align}</math>


Auch hier haben wir ein System gekoppelter Differenzialgleichungen.

Als Loesungsansatz wählen wir:


<math>{{q}_{k}}={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}</math>


Die resultierende Eigenwertgleichung lautet:


<math>\left( \begin{matrix}
   m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}} & -k  \\
   -k & m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}}  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   {{A}_{1}}  \\
   {{A}_{2}}  \\
\end{matrix} \right)=0</math>


Aus der charakteristischen Gleichung gewinnen wir das charakteristische Polynom


<math>\begin{align}
  & 0=\det ({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}})={{m}^{2}}\left| \begin{matrix}
   \frac{g}{l}+\frac{k}{m}-{{\omega }^{2}} & -\frac{k}{m}  \\
   \frac{-k}{m} & \frac{g}{l}+\frac{k}{m}-{{\omega }^{2}}  \\
\end{matrix} \right|=0 \\
 & 0={{\omega }^{4}}-2\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right){{\omega }^{2}}+\frac{{{g}^{2}}}{{{l}^{2}}}+2\frac{gk}{lm}={{\omega }^{4}}-2\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right){{\omega }^{2}}+{{\left( \frac{g}{l}+\frac{k}{m} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{k}{m} \right)}^{2}} \\
\end{align}</math>



<math>{{\omega }_{1,2}}^{2}=\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right)\pm {{\left( \frac{k}{m} \right)}^{{}}}=\left\{ \begin{matrix}
   \frac{g}{l}  \\
   \frac{g}{l}+2\left( \frac{k}{m} \right)  \\
\end{matrix} \right.</math>


Somit kennt das System die folgenden Eigenfrequenzen:


<math>{{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{g}{l}}:={{\omega }_{0}}</math>


ungestörte Pendelfrequenz


<math>{{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}}:={{\sqrt{{{\omega }_{0}}^{2}+2{{{\tilde{\omega }}}^{2}}}}_{{}}}</math>


Die zugehörigen Eigenvektoren lauten:


<math>\left( m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }_{a}}^{2} \right){{A}_{1}}^{a}-k{{A}_{2}}^{a}=0</math>


Somit ergibt sich mit der ungestörten Pendelfrequenz w1:


<math>k{{A}_{1}}^{1}-k{{A}_{2}}^{1}=0\Rightarrow \left( \begin{matrix}
   {{A}_{1}}^{1}  \\
   {{A}_{2}}^{1}  \\
\end{matrix} \right)\propto \left( \begin{matrix}
   1  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)</math>


Aus der Eigenfrequenz w2 ergibt sich:



In Normalkoordinaten gilt für die Lösung des Ortes:


<math>{{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}^{1}{{Q}_{1}}+{{A}_{k}}^{2}{{Q}_{2}}</math>


Bis auf einen konstanten Faktor.

Die Umkehrung lautet:


<math>\left( \begin{matrix}
   {{Q}_{1}}  \\
   {{Q}_{2}}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   {{A}_{1}}^{1} & {{A}_{2}}^{1}  \\
   {{A}_{1}}^{2} & {{A}_{2}}^{2}  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   {{q}_{1}}  \\
   {{q}_{2}}  \\
\end{matrix} \right)</math>


Mit der zu oben transponierten Matrix ( Umkehrung)

Die Eigenvektoren sind so zu normieren, dass:


<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{a}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}=m\sum\limits_{k}{{{\left| {{A}_{k}}^{a} \right|}^{2}}}=1} \\
 & \Rightarrow \left( \begin{matrix}
   {{A}_{1}}^{1}  \\
   {{A}_{2}}^{1}  \\
\end{matrix} \right)=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left( \begin{matrix}
   1  \\
   1  \\
\end{matrix} \right) \\
 & \left( \begin{matrix}
   {{A}_{1}}^{2}  \\
   {{A}_{2}}^{2}  \\
\end{matrix} \right)=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left( \begin{matrix}
   1  \\
   -1  \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>


Es folgt für die Normalkoordinaten:


<math>\begin{align}
  & {{Q}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}+{{q}_{2}})\quad SChwerpunktskoordinaten \\
 & {{Q}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})\quad \operatorname{Re}lativkoordinaten \\
\end{align}</math>


An Normalschwingungen existiert somit:


<math>\begin{align}
  & {{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{g}{l}} \\
 & {{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}} \\
\end{align}</math>


Dabei stellt ersteres die gleichphasige Schwerpunktsschwingung dar, letzteres repräsentiert die gegenphasige Relativschwingung.

In Realität haben wir es mit einer beliebigen Überlagerung von Schwerpunktsschwingung und Relativschwingung zu tun.

Dabei treten Überlagerungszustände als Schwebung auf.

In Realität erhält man eine reine Schwerpunktschwingung, wenn die Anfangsbedingungen reine Lösung der Schwerpunktsskoordinaten sind.

Eine Relativschwingung ergibt sich, wenn die Anfangsbedingung exakt eine Lösung der Relativkoordinaten repräsentieren.