Editing Multipolstrahlung

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|4|3}}</noinclude>
<u>'''Ziel:'''</u>

<u>'''Die '''</u>retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.

<u>'''Voraussetzung: Lorentz- Eichung'''</u>

:<math>\dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>

Somit kann aus
:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> dann <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
und somit auch
:<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>

:<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>
berechnet werden.

# <u>'''Näherung:'''</u>
<u>'''r>>a ('''</u>Ausdehnung der Quelle)

Mit

:<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>

folgt:

:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt!

# <u>'''Näherung'''</u>

:<math>\begin{align}
& t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}\approx t-\frac{r}{c}+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}+.... \\
& t-\frac{r}{c}:=\tau  \\
\end{align}</math>

Diese Näherung sollte gut sein, falls
:<math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math>

Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander!

a~ Ausdehnung der Quelle

:<math>\tau </math>
ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von
:<math>\bar{j}</math>
:

Beispielsweise: harmonische Erregung:

:<math>\begin{align}
& \bar{j}\tilde{\ }{{e}^{i\omega t}} \\
& \omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau =\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{ck}=\frac{\lambda }{c} \\
& \Rightarrow a<<\lambda  \\
\end{align}</math>

Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes!

Dann gilt:

:<math>\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\approx \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)}{\partial \left( t-\frac{r}{c} \right)}=\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}{\partial \tau }</math>

Also folgt für das Vektorpotenzial:



Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:

:<math>\nabla \cdot \bar{j}\ne 0</math>
:

Mit:

:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)+{{j}_{k}}</math>

mit der Kontinuitäätsgleichung:

:<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)=-\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \\
& \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)={{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \\
\end{align}</math>

und wegen

:<math>\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)=0</math>
(Gauß)

folgt dann:

:<math>\begin{align}
& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right)=0=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( {{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \right) \\
& \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)=:\dot{\bar{p}}\left( \tau  \right)} \\
\end{align}</math>

mit dem elektrischen Dipolmoment:

:<math>\bar{p}\left( \tau  \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)</math>

Somit für die erste Ordnung:

:<math>{{\bar{A}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>

<u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u>

<u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol (H hertz, 1857-1894)'''</u>

:<math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math>

:<math>\bar{p}</math>


:<math>\begin{align}
& {{{\bar{A}}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega \left( t-\frac{r}{c} \right)}}}{r}=\frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{i\left( kr-\omega t \right)}}}{r} \\
& k:=\frac{\omega }{c} \\
\end{align}</math>

Die Kugelwelle!

<u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u>

:<math>\begin{align}
& \dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\
& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right]+{{\Phi }_{stat.}}\left( {\bar{r}} \right) \\
& {{\Phi }_{stat.}}\left( {\bar{r}} \right)=0(obda) \\
& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right]=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)+\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\
& \frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\tilde{\ }\frac{1}{r} \\
& \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}} \\
\end{align}</math>

<u>'''Grenzfälle:'''</u>

<u>'''1) Fernzone / Wellenzone:'''</u>

:<math>\begin{align}
& r>>\lambda >>\left( a \right)\Leftrightarrow kr>>1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r>>1 \\
& \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}>>\frac{{\bar{p}}}{r} \\
\end{align}</math>

In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig!!

Es gilt die Näherung

:<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>

<u>'''2) Nahzone: (quasistatischer Bereich):'''</u>

:<math>\begin{align}
& \lambda >>r>>>\left( a \right) \\
& \Leftrightarrow kr<<1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r<<11 \\
& \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}<<\frac{{\bar{p}}}{r} \\
\end{align}</math>

Also:

:<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>

Dies kann man noch entwickeln nach

:<math>\bar{p}\left( t \right)</math>.
 dadurch entstehen Terme:

:<math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>

Diese kompensieren sich gegenseitig.
Also:
Die Retardierung kompensiert den
:<math>\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>
- Term.

Wir schreiben:

:<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math>

in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial (in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).

<u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u>



:<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>

:<math>\begin{align}
& \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\
& \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\dot{\bar{A}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{c}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\
\end{align}</math>

Es gilt:

:<math>\begin{align}
& \bar{B}\left( \bar{r},t \right)\times \frac{{\bar{r}}}{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}=\frac{1}{c}\bar{E}\left( \bar{r},t \right) \\
& \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}=\frac{{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}}{4\pi c{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{1}{4\pi {{c}^{3}}{{\varepsilon }_{0}}} \\
\end{align}</math>

F
Fazit:

:<math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>

bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander!
Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone!!

<u>'''Nebenbemerkung:'''</u>
In der Nahzone gilt immer noch wegen
:<math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math>,
 dass r und B senkrecht stehen.

Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente, die zu r senkrecht steht (transversale Komponente) noch longitudinale Anteile (E- parallel, die zu r parallel sind).

<u>'''Poynting- Vektor (Energiestromdichte)'''</u>

:<math>\begin{align}
& \bar{S}=\bar{E}\times \bar{H}=\frac{-1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \bar{E}=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\bar{B}\times \left( \bar{B}\times \bar{r} \right)=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\left[ \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)\bar{B}-{{B}^{2}}\bar{r} \right] \\
& \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)=0 \\
& \Rightarrow \bar{S}=\frac{c}{{{\mu }_{0}}r}{{B}^{2}}\bar{r} \\
\end{align}</math>

:<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right)</math>


Also:

entspricht

:<math>l=1,m=0</math>



Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:

:<math>\begin{align}
& \bar{p}(t)={{{\bar{p}}}_{0}}{{e}^{-i\omega t}} \\
& {{\left| {\ddot{\bar{p}}} \right|}^{2}}={{{\bar{p}}}_{0}}^{2}{{\omega }^{4}} \\
\end{align}</math>

Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig!! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt!
Nebenbemerkung:
Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne

<u>'''Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung'''</u>

Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von
:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
(mit der Coulomb- Eichung
:<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>)


mit den Randbedingungen
:<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
für r→ unendlich  verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:

Taylorentwicklung nach
:<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
von analog zum elektrischen Fall:
Die Stromverteilung
:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
sei stationär für
:<math>r>>r\acute{\ }</math>

:<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>

:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>

'''Monopol- Term'''

'''Mit'''

:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math>

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math>

:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math>

Mit
:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math>
folgt dann:

:<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.

Also: Falls

:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )</math>
quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A:
Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:

:<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\bar{r}\acute{\ },\tau )=0 \\
& \Rightarrow \dot{\bar{p}}(\tau )=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }=0 \\
& \Rightarrow {{A}^{(1)}}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}(\tau )\equiv 0 \\
\end{align}</math>

Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung (In der Hertzschen Dipol- Näherung)

<u>'''Beispiel:  '''</u>geschlossene Leiterschleife (sogenannte Rahmenantenne):

Mit

:<math>I(t)={{I}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}</math>

<u>'''2. Ordnung:'''</u>

:<math>{{\bar{A}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )}</math>

Mit

:<math>\begin{align}
& \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{2}\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right] \\
& und \\
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right)+{{x}_{k\acute{\ }}}\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j} \right] \\
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right) \\
\end{align}</math>

Kontinuitätsgleichung
Dann folgt integriert:

Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden (vergl. S. 15, Elektrostatik):

:<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau  \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>

Falls

:<math>\tilde{Q}\left( \tau  \right)</math>
oszilliert (sogenannter "breathing mode"), gibt

:<math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>

keinen Beitrag zu

:<math>\bar{E},\bar{B}</math>

* verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen

<u>'''→'''</u>
:<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}=3\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}\bar{r}\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r} \right)</math>

'''Also:'''

:<math>\begin{align}
& {{{\bar{A}}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\left[ \bar{m}\left( \tau  \right)\times \bar{r}+\frac{1}{6}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r} \right] \\
& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\left( \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}+\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r} \right) \\
\end{align}</math>

Mit der magnetischen Dipolstrahlung

:<math>\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}</math>

und elektrischer Quadrupolstrahlung

:<math>\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}</math>

Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe

:<math>\nabla \times \frac{1}{r}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}</math>

schreiben als:


Die magnetische Dipolstrahlung

'''Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung'''

:<math>\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{4\pi }\nabla \cdot \left( \nabla \times \frac{1}{r}\bar{m} \right)\equiv 0 \\
& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right)=!=0 \\
\end{align}</math>

O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt

'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:'''

das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung

<u>'''Nebenbemerkung'''</u>

Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung
:<math>\frac{q}{m}</math> ist <math>\bar{p}\tilde{\ }\bar{R}</math>
(Schwerpunkt)
und

:<math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math>
(Gesamtdrehimpuls)

:<math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math>

In diesem Fall (vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich

vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung