Editing Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|5}}</noinclude>

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten

<u>'''5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit'''</u>

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten
:<math>{{\chi }_{e}}</math>
aus einfachen mikroskopischen Modellen
Methode:  Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte
:<math>\bar{P}</math>
für ein gegebenes Feld
:<math>\bar{E}</math>.


'''Nebenbemerkung: '''Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation

<u>'''Klassisches Atommodell:'''</u>

homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung
:<math>{{Q}_{e}}=-Ze<0</math>

Außerdem ein punktförmiger Kern mit
:<math>{{Q}_{k}}=+Ze>0</math>
am Ort
:<math>{{\bar{r}}_{k}}</math>

'''Merke:'''

Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler Darstellungen der Maxwellgleichungen

Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes
:<math>{{\bar{E}}_{el.}}\left( {\bar{r}} \right)</math>
der Elektronen nach außen:

Gauß- Gesetz


:<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)</math>

Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen


Wichtig! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber! Betrachtung des elektrischen Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig, aber hier homogen verteilt!→ einfache Integration.

Auswertung liefert

:<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V(r\acute{\ })}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V(r\acute{\ })}^{{}}{{}}\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\
& \Rightarrow 4r{{\acute{\ }}^{2}}\pi {{\varepsilon }_{0}}\left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\
& \Rightarrow \left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r\acute{\ }}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}Q \\
\end{align}</math>

Natürlich nur für

:<math>r\acute{\ }\le R</math>

setzt man
:<math>\bar{r}\acute{\ }=\bar{r}-{{\bar{r}}_{e}}</math>,
 wobei
:<math>{{\bar{r}}_{e}}</math>
das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,

so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis

:<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}</math>

und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:

:<math>{{\bar{F}}_{K}}={{Q}_{K}}\bar{E}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}{{Q}_{k}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)</math>

wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:

:<math>{{\bar{F}}_{e}}=-{{\bar{F}}_{K}}</math>

Aufstellen der Bewegungsgleichungen (inklusive einem äußeren Feld
:<math>{{\bar{E}}_{a}}</math>)
:

:<math>\begin{align}
&  {{m}_{K}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}={{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\
& Z{{m}_{e}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-{{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)-Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\
\end{align}</math>

Also folgt für die Relativbewegung:

:<math>\bar{r}={{\bar{r}}_{k}}-{{\bar{r}}_{e}}</math>

als relativer Abstand

:<math>\begin{align}
&  \ddot{\bar{r}}={{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}-{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{K}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{Ze}{{{m}_{K}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{e}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
& =-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right){{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
& \left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\approx \frac{1}{Z{{m}_{e}}} \\
& \left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)=\bar{r} \\
& \Rightarrow \ddot{\bar{r}}=-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}\bar{r}+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
& \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\
& \Rightarrow \ddot{\bar{r}}+{{\omega }_{0}}^{2}\bar{r}=\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
\end{align}</math>

Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial! was wir schon an der Bestimmung des Potenzials sofort hätten sehen können!

Jedenfalls im stationären Zustand gilt:

:<math>\bar{r}=\frac{e}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{\bar{E}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)</math>

(Dynamik mit Dämpfung)

:<math>\Rightarrow {{\chi }_{e}}\left( \omega  \right)</math>

Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des elektrischen Dipolmoments:

:<math>\begin{align}
& \bar{p}=Ze\bar{r}=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\alpha {{{\bar{E}}}_{a}} \\
& \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}} \\
& \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\
& \Rightarrow \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}=4\pi {{R}^{3}}=3{{V}_{Atom}} \\
\end{align}</math>

Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter.
Entsprechend:

:<math>\begin{align}
& \bar{p}=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }+Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\
& Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=Ze\bar{r} \\
& \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }=-\frac{Ze}{\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ } \\
& \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }=0 \\
\end{align}</math>

wegen Symmetrie

:<math>\bar{p}=Ze\bar{r}</math>

makroskopisch gemittelte Energiedichte:

:<math>\bar{P}=n\bar{p}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{\bar{E}}_{a}}</math>

mit der mittleren Atomdichte n

<u>'''Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:'''</u>

Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:

<u>'''Gedankenexperiment'''</u>


<u>Feld einer homogenen polarisierten Kugel:</u>

Ansatz: homogen geladene Kugel:

:<math>{{\bar{E}}_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
\frac{{\bar{r}}}{{{a}^{3}}}r\le a  \\
\frac{{\bar{r}}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
\end{matrix} \right.</math>

Also:


:<math>{{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
c-\frac{{{{\bar{r}}}^{2}}}{2{{a}^{3}}}r\le a  \\
\frac{1}{r}r\ge a  \\
\end{matrix} \right.</math>

Bestimmung der Integrationskonstanten:

:<math>\begin{matrix}
\lim   \\
\varepsilon ->0  \\
\end{matrix}{{\Phi }_{0}}\left( a-\varepsilon  \right)={{\Phi }_{0}}\left( a+\varepsilon  \right)\Rightarrow c=\frac{3}{2a}</math>

<u>'''die homogen polarisierte Kugel'''</u>

Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro annehmen.

Dann: ro → 0


Bilde:

:<math>\begin{align}
& {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)={{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}-\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right)-{{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}+\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right) \\
& \approx -{{{\bar{r}}}_{0}}\nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right) \\
& \nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=-{{{\bar{E}}}_{0}} \\
& \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
\frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a  \\
\frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
\end{matrix} \right.=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
\frac{\bar{p}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a  \\
\frac{\bar{p}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
\end{matrix} \right. \\
& \bar{p}:=Q{{{\bar{r}}}_{0}} \\
\end{align}</math>

Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.

Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung verschwindet.
Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation (eigentlich Dipoldichte) umschreiben:

:<math>\begin{align}
& \bar{P}=\frac{{\bar{p}}}{\frac{4}{3}{{a}^{3}}\pi } \\
& \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
\frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a  \\
\frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
\end{matrix} \right.=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
\frac{\bar{P}\bar{r}}{3}r\le a  \\
\bar{P}\bar{r}\frac{{{a}^{3}}}{{{r}^{3}}}r\ge a  \\
\end{matrix} \right. \\
\end{align}</math>

Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.

:<math>{{\bar{E}}_{Kugel}}=-\nabla \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\frac{{\bar{P}}}{3}r\le a</math>

für das elektrische Feld im Inneren der Kugel (homogen polarisiert).

<u>'''Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:'''</u>


das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden.
Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel.
Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld


Das Lokalfeld  im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen herausgeschnitten wurde:

:<math>{{\bar{E}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}-{{\bar{E}}_{KUgel}}</math>

:<math>\begin{align}
& {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right):Lokalfeld \\
& \bar{E}:makroskopisch \\
& {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \\
\end{align}</math>

Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"

weil

:<math>{{\bar{E}}_{a}}+{{\bar{E}}_{Kugel}}=\bar{E}</math>
sein muss

Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel (wieder in den Hohlraum eingesetzt) ergibt das mittlere makroskopische Feld!

'''Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:'''

:<math>\begin{align}
& \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{{\bar{E}}}_{a}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha \left( \bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \right) \\
& \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E} \\
& \Rightarrow {{\chi }_{e}}=\frac{n\alpha }{1-\frac{1}{3}n\alpha } \\
& n\alpha =\frac{{{\chi }_{e}}}{1+\frac{1}{3}{{\chi }_{e}}}=\frac{\varepsilon -1}{1+\frac{\varepsilon -1}{3}}=3\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon +2} \\
\end{align}</math>

Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel