Editing Mehrkomponentige ideale Gase

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|4|4}}</noinclude>

In einem Volumen V befinden sich mehrere ideale Gase (Komponenten i=1,2,...) von jeweils ni mol:

<u>'''ideale Mischung  '''</u>(keine WW zwischen den Komponenten):

:<math>\begin{align}

& U=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left( T \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right) \\

& S=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left( T,{{v}_{i}} \right) \\

& {{s}_{i}}\left( T,{{v}_{i}} \right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{{{v}_{i}}}{{{v}_{0}}} \\

\end{align}</math>

'''Freie Energie'''

:<math>\begin{align}

& F=U-TS=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left[ {{u}_{i}}\left( T \right)-T\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)}{T\acute{\ }}-RT\ln \frac{{{v}_{i}}}{{{v}_{0}}} \right] \\

& =\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left[ \int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)-T\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)}{T\acute{\ }}-RT\ln \frac{V/{{n}_{i}}}{{{v}_{0}}} \right] \\

\end{align}</math>

'''Thermische Zustandsgleichung'''

:<math>\begin{align}

& p\left( T,V,{{n}_{i}} \right)=-{{\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)}_{T,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\frac{RT}{V}=n\frac{RT}{V} \\

& n:=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}} \\

\end{align}</math>

(Gesamtzahl der Mole)

'''Definition: Partialdruck: '''<math>{{p}_{i}}:=\frac{{{n}_{i}}}{n}p={{n}_{i}}\frac{RT}{V}\Rightarrow {{p}_{i}}V={{n}_{i}}RT</math>

* jede Komponente verhält sich so, als wäre sie unabhängig von den anderen Komponenten mit ihrem Partialdruck pi im Volumen V vorhanden!

====Daltonsches Gesetz====

:<math>\begin{align}

& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{p}_{i}}:=p\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{n}_{i}}}{n}=p \\

& \frac{{{n}_{i}}}{n}:={{x}_{i}} \\

\end{align}</math>

xi: sogenannter Molenbruch!

'''Bemerkung'''

In einer sehr verdünnten Lösung verhält sich der gelöste Stoff ebenfalls wie ein ideales Gas.

* osmotischer Druck:

'''Osmotischer Druck'''

:<math>p=\frac{n}{V}RT</math>

====Mischungsentropie====

Zwei ideale Gase befinden sich in einem Wärmebad T

Trennwand entfernt → Durchmischung!!



<u>Vor </u>der Durchmischung:

Entropie <math>S={{n}_{1}}{{s}_{1}}+{{n}_{2}}{{s}_{2}}</math> mit <math>\begin{align}

& {{s}_{i}}=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{{{V}_{i}}}{{{n}_{i}}}+const. \\

& i=1,2 \\

\end{align}</math>

Nach der Durchmischung

Entropie <math>S={{n}_{1}}{{s}_{1}}\acute{\ }+{{n}_{2}}{{s}_{2}}\acute{\ }</math> mit <math>\begin{align}

& {{s}_{i}}\acute{\ }=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{V}{{{n}_{i}}}+const. \\

& i=1,2 \\

\end{align}</math>

Also ergibt sich als Entropie- Differenz:

:<math>\begin{align}

& \Delta S={{n}_{1}}\left( {{s}_{1}}\acute{\ }-{{s}_{1}} \right)+{{n}_{2}}\left( {{s}_{2}}\acute{\ }-{{s}_{2}} \right)={{n}_{1}}R\ln \frac{V}{{{V}_{1}}}+{{n}_{2}}R\ln \frac{V}{{{V}_{2}}} \\

& \frac{V}{{{V}_{i}}}>1 \\

& \Rightarrow \Delta S>0 \\

\end{align}</math>

* der Mischungsvorgang ist irreversibel!

====Entropie und spezifische Wärme====

:<math>{{s}_{i}}\left( T,V,... \right)\to {{s}_{i}}\left( T,p,... \right)</math> mittels <math>{{v}_{i}}=\frac{V}{{{n}_{i}}}=\frac{n}{{{n}_{i}}}\frac{RT}{p}</math>

:

:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{vi}}\ln T+R\ln {{v}_{i}}+const.</math>

(Im Normalbereich, also wenn <math>{{c}_{vi}}</math>

temperaturunabhängig)

→

:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\left( {{c}_{vi}}+R \right)\ln T-R\ln p+R\ln \frac{n}{{{n}_{i}}}+const.</math>

:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{pi}}\ln T-R\ln p-R\ln {{x}_{i}}+const.</math> und <math>S\left( T,p,{{n}_{i}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left( {{c}_{pi}}\ln T-R\ln p-R\ln {{x}_{i}}+const. \right)</math>

Weiter gilt für die spezifischen Wärmekapazitäten:

:<math>\begin{align}

& {{c}_{v}}=\frac{T}{n}{{\left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)}_{V,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{x}_{i}}{{c}_{v}}_{i} \\

& {{c}_{p}}=\frac{T}{n}{{\left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)}_{p,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{x}_{i}}{{c}_{p}}_{i} \\

\end{align}</math>

====Chemisches Potenzial:====
pro Molekül: <math>\mu </math>

pro Mol: <math>\tilde{\mu }</math>

:<math>\begin{align}

& G=U-TS+pV \\

& =\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left( {{u}_{i}}(T)-T{{s}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})+RT. \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{{\tilde{\mu }}}_{i}} \\

\end{align}</math>

(Gibbs- Duhem)

:<math>\begin{align}

& {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{u}_{i}}(T)-T{{c}_{pi}}\ln T+RT+RT\ln p+RT\ln {{x}_{i}} \\

& {{u}_{i}}(T)-T{{c}_{pi}}\ln T+RT:={{\Phi }_{i}}(T) \\

& \Rightarrow {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln ({{x}_{i}}p)={{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln ({{p}_{i}}) \\

\end{align}</math>

Mit

:<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}\left( T,{{p}_{i}} \right)</math>

(molare Gibbsche freie Energie)

:<math>\begin{align}

& {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln p+RT\ln {{x}_{i}} \\

& \Rightarrow {{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln p={{g}_{i}}(T,p) \\

& \Rightarrow {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}(T,p)+RT\ln {{x}_{i}} \\

\end{align}</math>

Also:

:<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}(T,p)+RT\ln {{x}_{i}}</math>

Dies gilt nicht nur für die Mischung idealer Gase, sondern ganz allgemein für IDEALE MISCHUNGEN, z.B. verdünnte Lösungen, bei denen die Komponenten nicht miteinander chemisch reagieren!