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| * Vor Rechts ins System <math>{}_{S}^{R}{{H}_{I}}</math> | | * Vor Rechts ins System <math>{}_{S}^{R}{{H}_{I}}</math> |
| * Vom System nach Links <math>{}_{L}^{S}{{H}_{I}}</math> | | * Vom System nach Links <math>{}_{L}^{S}{{H}_{I}}</math> |
| * Vom System nach Rechts <math>{}_{R}^{S}{{H}_{I}}</math> mit <math>{}_{S}^{X}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}a_{k}^{\dagger }{{e}_{i}}}</math> und <math>{}_{X}^{S}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}{{a}_{k}}e_{i}^{\dagger }}</math> | | * Vom System nach Rechts <math>{}_{R}^{S}{{H}_{I}}</math> |
| | mit |
| | <math>{}_{S}^{X}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}a_{k}^{\dagger }{{e}_{i}}}</math> |
| | und |
| | <math>{}_{X}^{S}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}{{a}_{k}}e_{i}^{\dagger }}</math> |
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| :<math>{{e}_{i}}</math> erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.
| | <math>{{e}_{i}}</math> erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i. |
| :<math>e_{i}^{\dagger }</math> vernichtet ...
| | <math>e_{i}^{\dagger }</math> vernichtet ... |
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| ==Transformation ins WW-Bild== | | ==Transformation ins WW-Bild== |
| Operator ins WWBild | | Operator ins WWBild |
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| :<math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math>
| | <math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math> |
| mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math> | | mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math> |
| und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math> | | und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math> |
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| Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]] | | Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]] |
| :<math>
| | <math> |
| \dot \rho = - \mathfrak{i} \left[ {H,\rho } \right]</math> | | \dot \rho = - \mathfrac{i} \left[ {H,\rho } \right]</math> |
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| mit der Lösung | | (mit der Lösung |
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| :<math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math>
| | <math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math> |
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| mit <math>U=\exp \left( -\mathfrak{i}Ht \right)</math> | | mit <math>U=\exp \left( -\mathfrak{i}Ht \right)</math> |
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| Beweis | | Beweis |
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| :<math>{{\partial }_{t}}U=-\mathfrak{i}HU</math> sowie <math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math>
| | <math>{{\partial }_{t}}U=-\mathfrak{i}HU</math> |
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| Dann ist
| | sowie |
| :<math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math>
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| beweis ende
| | <math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math> |
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| lösung ende
| | Dann ist |
| | | <math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math> |
| Die LVN-Gln wird zu
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| :<math>\begin{align}
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| & {{d}_{t}}\tilde{\rho }={{d}_{t}}\left( U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}} \right) \\
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| & =\mathfrak{i}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left( \rho \right){{U}_{0}} \\
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| & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ H,\rho \right]{{U}_{0}} \\
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| & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{0}}+{{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\
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| & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\
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| & =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho } \right] \\
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| \end{align}</math>
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| ===Lösung===
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| Integrieren
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| :<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde{H_I},\tilde{\rho}]\,dt'</math>
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| auf rechter Seite einsetzen
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| :<math>\begin{align}
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| & {{d}_{t}}\tilde{\rho }=-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}}-\mathfrak{i}\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
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| & =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
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| & =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}' | |
| \end{align}</math>
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| ==System Dichteoperator==
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| Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad
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| :<math>{{\rho }_{S}}={{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ \rho \right]</math>
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| :<math>{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=U_{S}^{\dagger }{{\rho }_{S}}{{U}_{S}}</math>
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| :<math>{{U}_{S}}=\exp \left( -\mathsf{\mathfrak{i}}{{H}_{S}}t \right)</math>
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| damit folgt für
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| :<math>\begin{align}
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| & {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
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| \end{align}</math>
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| ==Annahmen==
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| * WW zur Zeit t=0 eingeschaltet
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| * no korrelation beteween System and Bath at t=0
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| -->
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| :<math>{{\tilde{\rho }}_{0}}={{\rho }_{0}}={{\rho }_{S,0}}{{R}_{B,0}}</math>
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| * Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.
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| -->
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| :<math>{{\operatorname{Tr}}_{S}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}}{{R}_{B,0}} \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]=0</math>
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| *Dichtematrix zu t=0 Sperabel
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| *Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I
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| *Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst
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| :<math>\tilde{\rho }={{{\tilde{\rho }}}_{S,0}}{{R}_{B,0}}+O\left( {{H}_{I}} \right)</math>
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| ===Bornsche Näherung===
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| * Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2
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| :<math>{{d}_{t}}{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=-\int_{0}^{t}{{{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ \tilde{H}{{'}_{I}},\,\tilde{\rho }{{'}_{S}}{{R}_{B,0}} \right] \right]}d{t}'</math>
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| ===Markov Näherung===
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| * Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab
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| :<math>{{\rho }_{S}}=\rho {{'}_{S}}</math>
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| [[Kategorie:Thermodynamik]]
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