Editing Magnetostatische Feldgleichungen
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<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|3}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|3}}</noinclude> | ||
Sie gelten auch in | Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !! | ||
Mit dem | Mit dem Vektorpotenzial | ||
<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | |||
Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß | Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß | ||
<math>\bar{A}(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi </math> | |||
umgeeicht werden kann.(<math>\Psi (\bar{r})</math> beliebig möglich, da <math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math>) | umgeeicht werden kann. | ||
( | |||
<math>\Psi (\bar{r})</math> | |||
beliebig möglich, da | |||
<math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math> | |||
) | |||
Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben: | Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben: | ||
<math>\bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | |||
Beweis: | Beweis: | ||
<math>\begin{align} | |||
& rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\ | & rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\ | ||
& {{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | & {{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | ||
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Es existiert ein Vektorpotenzial mit | Es existiert ein Vektorpotenzial mit | ||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r}) \\ | & \bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r}) \\ | ||
& \Leftrightarrow \\ | & \Leftrightarrow \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>div\bar{B}=0</math> | |||
Beweis: | Beweis: | ||
<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math> | |||
es gibt | es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen". | ||
Aber: | Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !) | ||
Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen! | Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen ! | ||
Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten <math>{{10}^{-35}}s</math> erzeugt worden sein sollen. | Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten | ||
<math>{{10}^{-35}}s</math> | |||
erzeugt worden sein sollen. | |||
Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.) | Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.) | ||
'''Der Zusammenhang zwischen''' | '''Der Zusammenhang zwischen''' | ||
<math>\bar{B}(\bar{r})</math> | |||
und | |||
<math>\bar{j}(\bar{r})</math> | |||
: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r}) \\ | & \nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r}) \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=\nabla \cdot \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | & \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=\nabla \cdot \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | ||
Line 57: | Line 67: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Wobei die verwendete | Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt ! | ||
Im Allgemeinen Fall gilt dagegen: | Im Allgemeinen Fall gilt dagegen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | ||
& \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\Phi (\bar{r},t) \\ | & \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\Phi (\bar{r},t) \\ | ||
Line 67: | Line 77: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Mit dem | Mit dem Gaußschen Satz. | ||
Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt: | Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt: | ||
<math>\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=0</math> | |||
Also: | Also: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t)</math> | |||
Also: | Also: | ||
<math>\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math> | |||
Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach | Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Delta \bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\ | & \Delta \bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\ | ||
& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | ||
\end{align}</math> wegen <math>{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=4\pi \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> | \end{align}</math> | ||
wegen | |||
<math>{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=4\pi \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> | |||
Also: | Also: | ||
<math>\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})+{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math> | |||
Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt: | Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | & \nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | ||
& {{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)=0 \\ | & {{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)=0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dies ist die differenzielle Form des | Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes | ||
Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !! | |||
Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion!! | |||
Integration über eine Fläche F mit Rand <math>\partial F</math> liefert die Intgralform: | Integration über eine Fläche F mit Rand | ||
<math>\partial F</math> | |||
liefert die Intgralform: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | & \int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | ||
& \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | & \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Mit dem | Mit dem Satz von Stokes | ||
Das sogenannte | Das sogenannte Durchflutungsgesetz ! | ||
<u>'''Zusammenfassung:'''</u> | |||
<u>'''Magnetostatik:'''</u> | |||
<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math> | |||
( quellenfreiheit) | |||
<math>\begin{align} | |||
& rot\bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})\Leftrightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{B}={{\mu }_{0}}I \\ | & rot\bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})\Leftrightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{B}={{\mu }_{0}}I \\ | ||
& \Rightarrow \Delta \bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | & \Rightarrow \Delta \bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Gilt jedoch nur im Falle der | Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math> | |||
Dies geschieht durch die Umeichung | Dies geschieht durch die Umeichung | ||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi \\ | & \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi \\ | ||
& \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A}+\nabla \times \nabla \Psi \\ | & \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A}+\nabla \times \nabla \Psi \\ | ||
Line 137: | Line 153: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<u>'''Elektrostatik:'''</u> | |||
<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math> | |||
( Wirbelfreiheit) | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\ | & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\ | ||
& \Leftrightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}=Q \\ | & \Leftrightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}=Q \\ | ||
Line 147: | Line 164: | ||
differenzielle Form / integrale Form | differenzielle Form / integrale Form | ||
<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math> | |||
( Poissongleichung) |