Editing Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt

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Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:

:<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>

mit kugelsymmetrischem Potenzial

Durch den kinetischen Impulsoperator: <math>\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)</math>

ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut!

:<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{p}}}^{2}}-2e\bar{A}\bar{p}+{{e}^{2}}{{{\bar{A}}}^{2}} \right)+V(r)</math>

Verwende: Coulombeichung: <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>

→ <math>\bar{A}\bar{p}=\bar{p}\bar{A}</math>

für Operatoren

:<math>{{e}^{2}}{{\bar{A}}^{2}}</math>

sei für Atome vernachlässigbar, falls <math>\left\langle {{L}_{3}} \right\rangle \ne 0</math>
,
 falls <math>B<{{10}^{5}}G</math>

vergl. Schwabl S. 128

<u>'''Homogenes Magnetfeld: '''</u><math>\bar{A}=\frac{1}{2}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)</math>

wegen <math>\bar{B}=\nabla \times \bar{A}=\frac{1}{2}\left( \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{r} \right) \right)-\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \nabla  \right)\bar{r}=\frac{1}{2}\left( \nabla \times \left( \bar{B}\times \bar{r} \right) \right)=\bar{B}</math>

Da ja <math>\left( \nabla \cdot \bar{r} \right)=3,\left( \bar{B}\cdot \nabla  \right)\bar{r}=\bar{B}</math>

Somit:

:<math>\frac{\hbar }{i}\left( \bar{A}\cdot \nabla \Psi  \right)=\frac{\hbar }{2i}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)\nabla \Psi =\frac{\hbar }{2i}\bar{B}\left( \bar{r}\times \nabla  \right)\Psi =\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{L} \right)\Psi </math>

Sei

:<math>\bar{B}=\left( 0,0,B \right)\Rightarrow \bar{B}\cdot \bar{L}=B{{L}_{3}}</math>

Schrödinger- Gleichung:

:<math>\begin{align}

& -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}B{{L}_{3}} \right)\Psi =0 \\

& {{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi  \\

\end{align}</math>

Wobei

:<math>{{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi </math>

für Drehimpuls- Eigenzustände

:<math>\Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V(r)-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar mB \right)\Psi =0</math>

mit

:<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>

(magnetisches Moment)

Klassisch:

:<math>\bar{\mu }=-\frac{\partial H}{\partial \bar{B}}=\frac{e}{2{{m}_{0}}}\bar{L}</math>

Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung.

:<math>\begin{align}

& {{H}_{mag.}}={{\mu }_{B}}\bar{B}=\frac{e\bar{B}\cdot \bar{L}}{2{{m}_{0}}}=\frac{eB{{L}_{3}}}{2{{m}_{0}}} \\

& {{\mu }_{B}}=\frac{\hbar e}{2{{m}_{0}}} \\

\end{align}</math>

====Normaler Zeeman- Effekt:====

Atom im homogenen Magnetfeld:

:<math>\left( {{H}_{0}}-E-{{\mu }_{3}}B \right)\Psi =0</math>

H0:  Hamiltonoperator ohne B- Feld

:<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>

:<math>\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}:={{\mu }_{B}}</math>

Bohrsches Magneton:  e<0

:<math>{{H}_{0}}{{\Psi }_{nlm}}={{E}_{nl}}{{\Psi }_{nlm}}</math>

:<math>\Rightarrow E={{E}_{nl}}-\frac{\hbar eB}{2{{m}_{0}}}m</math>

→ Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben

Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie!

:<math>m=-l,...,+l</math>

→ Aufspaltung in <math>2l+1</math>

- Niveaus (Multipletts)   mit   m = magnetische Quantenzahl

Achtung! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l

Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt → Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)

H- Atom: l- Entartung

Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände!