Editing Lippmann- Schwinger- Gleichung
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Latest revision | Your text | ||
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BILD WW: Streuung | BILD WW: Streuung | ||
Stationär bedeutet hier: Das Gleichgewicht hat sich bereits eingeregelt. Der Prozess ist zeitlich stationär, weil jede Veränderung an einem Teilchenzustand 1 durch ein nachrückendes Teilchen, dessen Zustand sich in den des ersten (Zustand 1) begibt, aufgefüllt wird. | Stationär bedeutet hier: Das Gleichgewicht hat sich bereits eingeregelt. Der Prozess ist zeitlich stationär, weil jede Veränderung an einem Teilchenzustand 1 durch ein nachrückendes Teilchen, dessen Zustand sich in den des ersten ( Zustand 1) begibt, aufgefüllt wird. | ||
Die {{FB|Schrödingergleichung}} lautet: | Die {{FB|Schrödingergleichung}} lautet: | ||
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:<math>\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle ={{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle </math> | :<math>\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle ={{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
Erster Schritt bei derartigen Problemen: Isolation der Störung! | Erster Schritt bei derartigen Problemen: Isolation der Störung ! | ||
Line 35: | Line 35: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Division zwischen 1 und dem Operator der linken Seite ist dabei als Ausführung der {{FB|inversen Operation}} zu verstehen! | Die Division zwischen 1 und dem Operator der linken Seite ist dabei als Ausführung der {{FB|inversen Operation}} zu verstehen ! | ||
:<math>\left| \Phi \right\rangle </math> | :<math>\left| \Phi \right\rangle </math> | ||
Line 67: | Line 67: | ||
:<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}</math> | :<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}</math> | ||
Hier: {{FB|Greenscher Operator}}, sogenannte {{FB|Resolvente}} (auch: Residuum!) der Schrödingergleichung. | Hier: {{FB|Greenscher Operator}}, sogenannte {{FB|Resolvente}} (auch: Residuum !) der Schrödingergleichung. | ||
Methode: Transformation auf Impulsdarstellung (Fourier- Transformation) und komplexe Integration. | Methode: Transformation auf Impulsdarstellung (Fourier- Transformation) und komplexe Integration. | ||
Line 79: | Line 79: | ||
:<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> | :<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> | ||
Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit! | Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit ! | ||
Mit | Mit | ||
Line 86: | Line 86: | ||
;einlaufender Welle: <math>\left| \Phi \right\rangle </math> (Lösung des ungestörten Problems) | ;einlaufender Welle: <math>\left| \Phi \right\rangle </math> (Lösung des ungestörten Problems) | ||
Die auslaufende Welle <math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle! | Die auslaufende Welle <math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle ! | ||
==Greensche Funktion des freien Teilchens== | ==Greensche Funktion des freien Teilchens== | ||
<u>'''(= Ortsdartellung des Greenschen Operators)'''</u> | <u>'''( = Ortsdartellung des Greenschen Operators)'''</u> | ||
:<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ }):=\frac{\hbar }{2m}\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle </math> | :<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ }):=\frac{\hbar }{2m}\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle </math> | ||
Line 99: | Line 99: | ||
Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst. Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex. | Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst. Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex. | ||
Dann isoliert man den Greenschen Operator und führt mit diesem eine {{FB|Fouriertransormation}} durch! | Dann isoliert man den Greenschen Operator und führt mit diesem eine {{FB|Fouriertransormation}} durch ! | ||
Der obige Einschub einer Basis ist noch '''keine''' Fouriertransformation. Wir befinden uns dann immer noch im Ortstraum! | Der obige Einschub einer Basis ist noch '''keine''' Fouriertransformation. Wir befinden uns dann immer noch im Ortstraum! | ||
Line 141: | Line 141: | ||
Die Rücktransformation liefert die gesuchte Greensfunktion <math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math>, die mittels Residuensatz aus der bekannten <math>{{\tilde{G}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }</math> durch Fouriertrafo gewonnen werden kann! | Die Rücktransformation liefert die gesuchte Greensfunktion <math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math>, die mittels Residuensatz aus der bekannten <math>{{\tilde{G}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }</math> durch Fouriertrafo gewonnen werden kann! | ||
:<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math> hängt also nur von <math>\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> ab! | :<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math> hängt also nur von <math>\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> ab ! | ||
Berechnung von <math>{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):={{G}_{+}}(\bar{R})</math> in Polarkoordinaten <math>\bar{q}</math> erfolgt mittels {{FB|Residuensatz}} | Berechnung von <math>{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):={{G}_{+}}(\bar{R})</math> in Polarkoordinaten <math>\bar{q}</math> erfolgt mittels {{FB|Residuensatz}} | ||
Line 179: | Line 179: | ||
Skizzenhaft: | Skizzenhaft: | ||
[[Datei: | [[Datei:Contour_thm_residus_2.png]] | ||
Da die Integration im Unendlichen (Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden: | Da die Integration im Unendlichen ( Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden: | ||
Die Pole des Integranden: | Die Pole des Integranden: | ||
Line 303: | Line 303: | ||
eine Form der Lippmann- Schwinger- Gleichung mit auslaufender Welle <math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> | eine Form der Lippmann- Schwinger- Gleichung mit auslaufender Welle <math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> | ||
Greenschen Operator (auch sogenannte RESOLVENTE)<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}</math> | Greenschen Operator ( auch sogenannte RESOLVENTE)<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}</math> | ||
und durchlaufender Welle (freie einlaufende Lösung) <math>\left| \Phi \right\rangle </math> | und durchlaufender Welle ( freie einlaufende Lösung) <math>\left| \Phi \right\rangle </math> | ||
Die Berechnung der Greenschen Funktion des freien Teilchens: | Die Berechnung der Greenschen Funktion des freien Teilchens: | ||
Line 321: | Line 321: | ||
:<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):=\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{G}}_{+}}(\bar{q})\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> | :<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):=\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{G}}_{+}}(\bar{q})\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> | ||
Dieser erfüllt dann eine Relation des Impulsoperators in Ortsdarstellung (orts- Differeniationsrelation): | Dieser erfüllt dann eine Relation des Impulsoperators in Ortsdarstellung ( orts- Differeniationsrelation): | ||
:<math>\left( \Delta +{{k}^{2}} \right){{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math> | :<math>\left( \Delta +{{k}^{2}} \right){{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math> | ||
(dies ist die skalare Helmholtzgleichung!) | ( dies ist die skalare Helmholtzgleichung !) | ||
==Potenzialstreuungen== | ==Potenzialstreuungen== | ||
:<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math> sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als {{FB|Streuzentrum}}(Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem | :<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math> sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als {{FB|Streuzentrum}}( Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem | ||
Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen | Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen | ||
Line 342: | Line 342: | ||
Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen. | Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen. | ||
Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus UNENDLICH zu verstehen. | Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus UNENDLICH zu verstehen . |