Editing Kugelsymmetrische Potentiale
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:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0</math> | :<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0</math> | ||
, | |||
, falls <math>H=\hat{H}({{\hat{r}}^{2}},{{\hat{p}}^{2}})</math> | |||
Also <math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math> | Also <math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math> | ||
mit Zentralpotenzial V(r) | mit Zentralpotenzial V(r ) | ||
<u>'''Theorem'''</u> | <u>'''Theorem'''</u> | ||
Line 73: | Line 73: | ||
Wegen <math>\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=\hat{L}\left[ \hat{L},H \right]+\left[ \hat{L},H \right]\hat{L}\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0</math> | Wegen <math>\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=\hat{L}\left[ \hat{L},H \right]+\left[ \hat{L},H \right]\hat{L}\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0</math> | ||
Sei V(r) im Folgenden kugelsymmetrisch. | Sei V(r ) im Folgenden kugelsymmetrisch. | ||
Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von <math>H</math> | Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von <math>H</math> | ||
Line 82: | Line 82: | ||
und<math>\bar{L}</math> | und<math>\bar{L}</math> | ||
. | . | ||
( H läßt sich als L² darstellen ( siehe im Folgenden !) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen !) | |||
(H läßt sich als L² darstellen (siehe im Folgenden!) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen!) | |||
Wegen | Wegen | ||
Line 96: | Line 96: | ||
können wir gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> | können wir gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> | ||
, | |||
<math>{{\hat{L}}^{2}}</math> | ,<math>{{\hat{L}}^{2}}</math> | ||
und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | ||
Line 117: | Line 117: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Summationskonvention!! | Summationskonvention !! | ||
Es folgt: | Es folgt: | ||
Line 177: | Line 177: | ||
:<math>\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial {{x}_{j}}}{\partial r}{{\partial }_{j}}=\frac{{{x}_{j}}}{r}{{\partial }_{j}}</math> | :<math>\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial {{x}_{j}}}{\partial r}{{\partial }_{j}}=\frac{{{x}_{j}}}{r}{{\partial }_{j}}</math> | ||
Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt! | Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt ! | ||
Somit: | Somit: | ||
Line 211: | Line 211: | ||
:<math>\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )==-{{\hbar }^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right)</math> | :<math>\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )==-{{\hbar }^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right)</math> | ||
'''Also: (Im quantenmechanischen Fall sei '''<math>\bar{r}=\hat{\bar{r}},\bar{p}=\hat{\bar{p}}</math> | '''Also: ( Im quantenmechanischen Fall sei '''<math>\bar{r}=\hat{\bar{r}},\bar{p}=\hat{\bar{p}}</math> | ||
:<math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\Psi </math> | :<math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\Psi </math> | ||
Line 247: | Line 247: | ||
:<math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}</math> | :<math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}</math> | ||
Nachrechnen! | Nachrechnen ! | ||
'''Ortsdarstellung von L²:''' | '''Ortsdarstellung von L²:''' | ||
Line 259: | Line 259: | ||
:<math>\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi +V\Psi =E\Psi </math> | :<math>\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi +V\Psi =E\Psi </math> | ||
´ auf Kugelkoordinaten (Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken!) | ´ auf Kugelkoordinaten ( Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken !) | ||
<u>'''Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:'''</u> | <u>'''Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:'''</u> | ||
Line 281: | Line 281: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
(Laguerre Differenzialgleichung!) | ( Laguerre Differenzialgleichung !) | ||
Dabei wird <math>\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}</math> | Dabei wird <math>\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}</math> | ||
Line 295: | Line 295: | ||
:<math>{{d}^{2}}\left( rR \right)=d\left( R+rdR \right)=2dR+r{{d}^{2}}R</math> | :<math>{{d}^{2}}\left( rR \right)=d\left( R+rdR \right)=2dR+r{{d}^{2}}R</math> | ||
für ein Differenzial entlang der Radiusvariable! | für ein Differenzial entlang der Radiusvariable ! | ||
'''Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:''' | '''Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:''' | ||
Line 309: | Line 309: | ||
mit <math>\alpha <2</math> | mit <math>\alpha <2</math> | ||
Also: dominiere das Zentrifugalpotenzial gegenüber V für | Also: dominiere das Zentrifugalpotenzial gegenüber V für r-> 0, | ||
so gilt: | so gilt: | ||
Es existieren für ein anziehendes Potenzial <math>V(r)</math> | Es existieren für ein anziehendes Potenzial <math>V(r)</math> | ||
, | |||
, also negatives Potenzial wie im 1dimensionalen Fall grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für <math>\alpha <2</math> | |||
, | |||
, ansonsten nur endlich viele ( Potenzialtopf !). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer mindestens EIN gebundener Zustand ! | |||
Dabei existiert eine Serie <math>{{E}_{nl}}</math> | Dabei existiert eine Serie <math>{{E}_{nl}}</math> | ||
Line 323: | Line 323: | ||
n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n | n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n | ||
Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet. | Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet. | ||
Also: es existieren endlich oder unendlich viele <math>{{E}_{nl}}</math> | Also: es existieren endlich oder unendlich viele <math>{{E}_{nl}}</math> | ||
Line 331: | Line 331: | ||
mit jeweils <math>2l+1</math> | mit jeweils <math>2l+1</math> | ||
facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren! | facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren ! | ||
'''Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:''' | '''Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:''' | ||
Line 342: | Line 342: | ||
und H mit <math>{{L}^{2}},{{L}_{j}}</math> | und H mit <math>{{L}^{2}},{{L}_{j}}</math> | ||
. | . | ||
Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> | |||
,<math>{{L}^{2}},{{L}_{3}}</math> | |||
. Es ist möglich, einen Operator, z.B. den Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken | |||
. | |||
ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf! | ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf ! | ||
Wir haben jedoch gesehen, dass | Wir haben jedoch gesehen, dass | ||
Line 359: | Line 359: | ||
:<math>\Leftrightarrow \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L}</math> | :<math>\Leftrightarrow \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L}</math> | ||
ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen (Kommutatoren) auf! | ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen ( Kommutatoren ) auf ! | ||
Wir haben als Leiteroperatoren: | Wir haben als Leiteroperatoren: | ||
Line 389: | Line 389: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren! | ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren ! | ||
Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden. | Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden. | ||
Line 414: | Line 414: | ||
Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu <math>H</math> | Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu <math>H</math> | ||
, | |||
<math>{{L}^{2}},{{L}_{3}}</math> | ,<math>{{L}^{2}},{{L}_{3}}</math> | ||
kann man den Hamiltonian zusammenstellen: | kann man den Hamiltonian zusammenstellen: | ||
Line 433: | Line 433: | ||
:<math>{{p}_{r}}^{2}\ne \frac{{{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}}{{{r}^{2}}}</math> | :<math>{{p}_{r}}^{2}\ne \frac{{{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}}{{{r}^{2}}}</math> | ||
(klassisch) | ( klassisch) | ||
Es ergibt sich die Schrödingergleichung: | Es ergibt sich die Schrödingergleichung: | ||
Line 502: | Line 502: | ||
& {{V}_{1}}(x)=\infty \ x\le 0 \\ | & {{V}_{1}}(x)=\infty \ x\le 0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Vergleiche: Harmonischer Oszi! | Vergleiche: Harmonischer Oszi ! | ||
Symmetrische Fortsetzung des Potenzials <math>{{V}_{s}}</math> | Symmetrische Fortsetzung des Potenzials <math>{{V}_{s}}</math> | ||
: | : | ||
Line 512: | Line 512: | ||
Fazit: Der Grundzustand von <math>{{V}_{1}}</math> | Fazit: Der Grundzustand von <math>{{V}_{1}}</math> | ||
entspricht dem ersten angeregten Zustand von <math>{{V}_{s}}</math> | entspricht dem ersten angeregten Zustand von <math>{{V}_{s}}</math> | ||
(radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung). | ( radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung). | ||
Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand! | Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand ! | ||
Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände. | Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände. |