Editing Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie
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Latest revision | Your text | ||
Line 19: | Line 19: | ||
Der raumzeitliche Abstand | Der raumzeitliche Abstand | ||
<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math> | |||
ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen (Lorentz- Transformationen!) | ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen (Lorentz- Transformationen!) | ||
Line 35: | Line 35: | ||
'''Def.: '''Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man: | '''Def.: '''Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{x}^{0}}:=ct \\ | & {{x}^{0}}:=ct \\ | ||
Line 47: | Line 47: | ||
es schreibt sich | es schreibt sich | ||
<math>{{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}</math> | |||
'''Def.: '''als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man: | '''Def.: '''als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{x}_{0}}:={{x}^{0}} \\ | & {{x}_{0}}:={{x}^{0}} \\ | ||
Line 61: | Line 61: | ||
Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums <math>\tilde{V}</math> | Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums <math>\tilde{V}</math> | ||
<math>\tilde{V}</math> | |||
ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden: | ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden: | ||
<math>\tilde{V}=\left\{ lineareFunktionale\quad l:V->R \right\}</math> | |||
es schreibt sich | es schreibt sich | ||
<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math> | |||
Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,... | Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,... | ||
Line 80: | Line 80: | ||
gilt: | gilt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{a}_{0}}={{a}^{0}} \\ | & {{a}_{0}}={{a}^{0}} \\ | ||
Line 93: | Line 93: | ||
=====Der d´Alemebert-Operator===== | =====Der d´Alemebert-Operator===== | ||
<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}</math> | |||
Mit | Mit | ||
<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }_{i}}</math> | |||
kovariant | kovariant | ||
Line 103: | Line 103: | ||
Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet! | Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet! | ||
<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }^{i}}</math> | |||
kontravariant | kontravariant | ||
Line 111: | Line 111: | ||
<u>'''Also:'''</u> | <u>'''Also:'''</u> | ||
<math>\Rightarrow \ \#=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math> | |||
<u>'''Vierergeschwindigkeit'''</u> | <u>'''Vierergeschwindigkeit'''</u> | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds} \\ | & {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds} \\ | ||
Line 127: | Line 127: | ||
Dabei gilt: | Dabei gilt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \beta :=\frac{v}{c}=\frac{1}{c}\left| \frac{d\bar{r}}{dt} \right| \\ | & \beta :=\frac{v}{c}=\frac{1}{c}\left| \frac{d\bar{r}}{dt} \right| \\ | ||
Line 137: | Line 137: | ||
Also: | Also: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{u}^{0}}=\gamma \\ | & {{u}^{0}}=\gamma \\ | ||
Line 147: | Line 147: | ||
Mit der Eigenzeit | Mit der Eigenzeit | ||
<math>d\tau =\frac{dt}{\gamma }</math> | |||
Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen! | Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen! | ||
<math>{{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}=1</math> | |||
ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant! | ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant! | ||
=====Viererimpuls===== | =====Viererimpuls===== | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}} \\ | & {{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}} \\ | ||
Line 176: | Line 176: | ||
folgt die Leistungsbilanz: | folgt die Leistungsbilanz: | ||
<math>{{k}^{i}}{{u}_{i}}=\left[ \frac{d}{d\tau }\left( {{m}_{0}}c{{u}^{i}} \right) \right]{{u}_{i}}</math> | |||
Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu | Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{{{m}_{0}}c}{2}\frac{d}{d\tau }\left( {{u}^{i}}{{u}_{i}} \right)=0 \\ | & {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{{{m}_{0}}c}{2}\frac{d}{d\tau }\left( {{u}^{i}}{{u}_{i}} \right)=0 \\ | ||
Line 192: | Line 192: | ||
<u>'''Außerdem gilt:'''</u> | <u>'''Außerdem gilt:'''</u> | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right){{u}_{0}}+{{k}^{\alpha }}{{u}_{\alpha }}=\gamma \frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right)+\frac{\gamma }{c}{{k}^{\alpha }}{{v}_{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}\left[ \frac{d}{d\tau }\left( c{{p}^{0}} \right)-\bar{k}\bar{v} \right]=0 \\ | & {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right){{u}_{0}}+{{k}^{\alpha }}{{u}_{\alpha }}=\gamma \frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right)+\frac{\gamma }{c}{{k}^{\alpha }}{{v}_{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}\left[ \frac{d}{d\tau }\left( c{{p}^{0}} \right)-\bar{k}\bar{v} \right]=0 \\ | ||
Line 218: | Line 218: | ||
Also folgt an die Energie: | Also folgt an die Energie: | ||
<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math> | |||
Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung | Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung | ||
Line 239: | Line 239: | ||
Es gilt: | Es gilt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\ | & {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\ | ||
Line 253: | Line 253: | ||
Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein: | Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein: | ||
<math>spA={{A}^{i}}_{i}={{A}_{i}}^{i}</math> | |||
=====- er Einheitstensor===== | =====- er Einheitstensor===== | ||
<math>{{\delta }^{k}}_{i}={{\delta }_{i}}^{k}</math> | |||
wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch | wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{k}}={{a}^{i}} \\ | & {{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{k}}={{a}^{i}} \\ | ||
Line 272: | Line 272: | ||
<u>'''Der metrische Tensor'''</u> | <u>'''Der metrische Tensor'''</u> | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}={{\delta }^{i}}_{k}\quad f\ddot{u}r\ k=0 \\ | & {{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}={{\delta }^{i}}_{k}\quad f\ddot{u}r\ k=0 \\ | ||
Line 298: | Line 298: | ||
Also: | Also: | ||
<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=0,1,2,3</math> | |||
Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik! | Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik! | ||
Line 304: | Line 304: | ||
=====Lorentz- Trnsformationen (linear, homogen) <math>\Sigma \to \Sigma \acute{\ }</math>===== | =====Lorentz- Trnsformationen (linear, homogen) <math>\Sigma \to \Sigma \acute{\ }</math>===== | ||
<math>\begin{align} | |||
& x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\ | & x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\ | ||
Line 326: | Line 326: | ||
Somit: | Somit: | ||
<math>{{U}^{k}}_{i}=\left( \begin{matrix} | |||
\gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ | \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ | ||
Line 342: | Line 342: | ||
Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen: | Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& a{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{a}^{k}} \\ | & a{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{a}^{k}} \\ | ||
Line 360: | Line 360: | ||
'''Umkehr- Transformation:''' | '''Umkehr- Transformation:''' | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{a}^{i}}={{U}_{k}}^{i}a{{\acute{\ }}^{k}} \\ | & {{a}^{i}}={{U}_{k}}^{i}a{{\acute{\ }}^{k}} \\ | ||
Line 370: | Line 370: | ||
Denn: | Denn: | ||
<math>{{U}_{k}}^{i}{{U}^{k}}_{l}{{a}^{l}}={{\delta }^{i}}_{l}{{a}^{l}}={{a}^{i}}</math> | |||
In Matrizenschreibweise: | In Matrizenschreibweise: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix} | & {{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix} | ||
Line 423: | Line 423: | ||
=====Transformationsverhalten des Vierergradienten===== | =====Transformationsverhalten des Vierergradienten===== | ||
<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}:={{\partial }_{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}={{U}^{k}}_{i}\partial {{\acute{\ }}_{k}}</math> | |||
Mit der Identität | Mit der Identität | ||
<math>\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}</math> | |||
Das heißt jedoch | Das heißt jedoch | ||
<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}</math> | |||
transformiert sich wie <math>{{a}_{i}}</math> | transformiert sich wie <math>{{a}_{i}}</math> | ||
Line 439: | Line 439: | ||
Analog kann gezeigt werden: | Analog kann gezeigt werden: | ||
<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}:={{\partial }^{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}={{U}_{k}}^{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}</math> | |||
<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}</math> | |||
transformiert sich wie <math>{{a}^{i}}</math> | transformiert sich wie <math>{{a}^{i}}</math> | ||
, | , | ||
also kontravariant. (PRÜFEN!) | also kontravariant. (PRÜFEN!) |