Editing Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)
Jump to navigation
Jump to search
The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.
Latest revision | Your text | ||
Line 1: | Line 1: | ||
<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}}</noinclude> | ||
Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell): | Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell): | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 53: | Line 53: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Denn: | Denn: | ||
Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben! | Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben ! | ||
Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit! | Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit ! | ||
Dabei bezeichnet man | Dabei bezeichnet man | ||
:<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird | :<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird | ||
Line 60: | Line 60: | ||
Mit dem kinetischen Impulsoperator | Mit dem kinetischen Impulsoperator | ||
:<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math> | :<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math> | ||
Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert! | Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert ! | ||
<u>'''Bemerkungen'''</u> | <u>'''Bemerkungen'''</u> | ||
# Neben dem kanonischen Impulsoperator: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla </math>, wobei klassisch <math>{{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}</math> haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator <math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>zusammen, wobei der '''Geschwindigkeitsoperator '''<math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>'''NICHT '''die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert. | # Neben dem kanonischen Impulsoperator: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla </math>, wobei klassisch <math>{{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}</math> haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator <math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>zusammen, wobei der '''Geschwindigkeitsoperator '''<math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>'''NICHT '''die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert. | ||
Line 68: | Line 68: | ||
Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten: | Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten: | ||
:<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math> | :<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math> | ||
Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?) | Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?) | ||
# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten! | # In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten ! | ||
Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt: | Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 79: | Line 79: | ||
Also in diesem Fall: | Also in diesem Fall: | ||
:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> | :<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> | ||
Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen! | Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen ! | ||
# Im Gaußschen Maßsystem gilt: | # Im Gaußschen Maßsystem gilt: | ||
:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math> | :<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math> |