Editing Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}}</noinclude> | ||
Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell): | Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell): | ||
<math>\begin{align} | |||
& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\ | & i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\begin{align} | |||
& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\ | & i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\ | ||
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Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von | Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von | ||
<math>\bar{A}(\bar{r},t)</math> | |||
Die Gleichung kann komplex konjugiert werden: | Die Gleichung kann komplex konjugiert werden: | ||
<math>i\hbar \dot{\Psi }*(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi *-i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)-i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi * \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi * \right]+V\Psi *(\bar{r},t)</math> | |||
Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte: | Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte: | ||
<math>\begin{align} | |||
& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \Psi (\bar{r},t)\Psi *(\bar{r},t) \right)=\Psi *(\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)+\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},t) \\ | & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \Psi (\bar{r},t)\Psi *(\bar{r},t) \right)=\Psi *(\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)+\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},t) \\ | ||
& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \left( \Psi *(\bar{r},t)\dot{\Psi }(\bar{r},t)+\dot{\Psi }*(\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi *\hat{H}\Psi -\Psi (\hat{H}\Psi )* \\ | & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \left( \Psi *(\bar{r},t)\dot{\Psi }(\bar{r},t)+\dot{\Psi }*(\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi *\hat{H}\Psi -\Psi (\hat{H}\Psi )* \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\begin{align} | |||
& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{{{e}^{2}}}{2m}\left[ \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi * \right]+\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi * \\ | & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{{{e}^{2}}}{2m}\left[ \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi * \right]+\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi * \\ | ||
& \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\frac{i\hbar e}{2m}\left( \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *+\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi \right) \\ | & \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\frac{i\hbar e}{2m}\left( \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *+\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi \right) \\ | ||
Line 46: | Line 46: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld | Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld | ||
<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math> | |||
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet: | Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ | & \bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ | ||
& =\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi +\Psi \left( -\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi * \right\} \\ | & =\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi +\Psi \left( -\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi * \right\} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Denn: | Denn: | ||
Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben! | Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben ! | ||
Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit! | Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit ! | ||
Dabei bezeichnet man | Dabei bezeichnet man | ||
<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird | |||
<math>\bar{j}=\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi +\Psi \left( {{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi \right)* \right\}</math> | |||
Mit dem kinetischen Impulsoperator | Mit dem kinetischen Impulsoperator | ||
<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math> | |||
Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert! | Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert ! | ||
<u>'''Bemerkungen'''</u> | <u>'''Bemerkungen'''</u> | ||
# Neben dem kanonischen Impulsoperator: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla </math>, wobei klassisch <math>{{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}</math> haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator <math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>zusammen, wobei der '''Geschwindigkeitsoperator '''<math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>'''NICHT '''die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert. | # Neben dem kanonischen Impulsoperator: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla </math>, wobei klassisch <math>{{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}</math> haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator <math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>zusammen, wobei der '''Geschwindigkeitsoperator '''<math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>'''NICHT '''die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert. | ||
Also: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}=m\hat{\bar{v}}</math>und <math>\hat{p}\ne m\hat{\bar{v}}</math> | Also: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}=m\hat{\bar{v}}</math>und <math>\hat{p}\ne m\hat{\bar{v}}</math> | ||
# Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung | # Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung | ||
<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\frac{1}{2}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi +\Psi \left( \hat{\bar{v}}\Psi \right)* \right\}</math> | |||
Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten: | Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten: | ||
<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math> | |||
Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?) | Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?) | ||
# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten! | # In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten ! | ||
Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt: | Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =\frac{\hbar }{i}\left[ \nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right]=\frac{\hbar }{i}\left[ \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)\Psi +2\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right] \\ | & \left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =\frac{\hbar }{i}\left[ \nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right]=\frac{\hbar }{i}\left[ \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)\Psi +2\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right] \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{A}=0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit: | Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit: | ||
<math>\left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =2\bar{A}\hat{\bar{p}}\Psi </math> | |||
Also in diesem Fall: | Also in diesem Fall: | ||
<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> | |||
Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen! | Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen ! | ||
# Im Gaußschen Maßsystem gilt: | # Im Gaußschen Maßsystem gilt: | ||
<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math> |