Editing Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)

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Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):

:<math>\begin{align}

& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\

& V=e\Phi  \\

\end{align}</math>

:<math>\begin{align}

& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\

& =\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi +i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi  \right)+i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi  \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi  \right]+V\Psi (\bar{r},t) \\

\end{align}</math>

Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

:<math>\bar{A}(\bar{r},t)</math>

Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

:<math>i\hbar \dot{\Psi }*(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi *-i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)-i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi * \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi * \right]+V\Psi *(\bar{r},t)</math>

Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

:<math>\begin{align}

& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \Psi (\bar{r},t)\Psi *(\bar{r},t) \right)=\Psi *(\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)+\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},t) \\
& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \left( \Psi *(\bar{r},t)\dot{\Psi }(\bar{r},t)+\dot{\Psi }*(\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi *\hat{H}\Psi -\Psi (\hat{H}\Psi )* \\
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{{{e}^{2}}}{2m}\left[ \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi * \right]+\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi * \\
& \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\frac{i\hbar e}{2m}\left( \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi  \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *+\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi  \right) \\
& \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi *=0 \\
& \Psi *V\Psi -\Psi V\Psi *=0 \\
& \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi  \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *=\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi =\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\
& \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\
& \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *=\nabla \left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\left( \nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi * \right) \\
& \left( \nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi * \right)=0 \\
& \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\nabla \left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\
& \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\nabla \left[ \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \right] \\
\end{align}</math>
Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld
:<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:
:<math>\begin{align}
& \bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\
& =\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi +\Psi \left( -\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi * \right\} \\
\end{align}</math>
Denn:
Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben!
Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit!
Dabei bezeichnet man
:<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird
:<math>\bar{j}=\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi +\Psi \left( {{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi  \right)* \right\}</math>
Mit dem kinetischen Impulsoperator
:<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>
Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert!
<u>'''Bemerkungen'''</u>
# Neben dem kanonischen Impulsoperator: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla </math>, wobei klassisch <math>{{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}</math> haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator  <math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>zusammen, wobei der '''Geschwindigkeitsoperator '''<math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>'''NICHT '''die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.
Also: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}=m\hat{\bar{v}}</math>und <math>\hat{p}\ne m\hat{\bar{v}}</math>
# Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung
:<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\frac{1}{2}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi +\Psi \left( \hat{\bar{v}}\Psi  \right)* \right\}</math>
Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:
:<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math>
Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi  \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)
# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!
Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt:
:<math>\begin{align}
& \left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =\frac{\hbar }{i}\left[ \nabla \left( \bar{A}\Psi  \right)+\bar{A}\left( \nabla \Psi  \right) \right]=\frac{\hbar }{i}\left[ \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)\Psi +2\bar{A}\left( \nabla \Psi  \right) \right] \\
& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\
\end{align}</math>
Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:
:<math>\left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =2\bar{A}\hat{\bar{p}}\Psi </math>
Also in diesem Fall:
:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math>
Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen!
# Im Gaußschen Maßsystem gilt:
:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math>