Editing Kontinuitätsgleichung

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|1}}</noinclude>

Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I

Experimentelle Erfahrung:  Die Ladung bleibt erhalten:

:<math>Q(t)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)</math>

Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:

{{Gln|<math>\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I</math>|Ladungserhaltungssatz}}


:<math>\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left| v \right|dt\left| df \right|\cos \alpha }{dt}=\rho \bar{v}d\bar{f}</math>

Also gerade die Ladung, die durch <math>d\bar{f}</math>pro zeit aus V herausströmt
{{Def|Als eine lokale Größe findet man die '''elektrische Stromdichte''':

:<math>\bar{j}(\bar{r},t):=\rho (\bar{r},t)\bar{v}(\bar{r},t)</math>|elektrische Stromdichte}}

:<math>\Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)</math>
(Gauß!)  für alle Volumina V (einfach zusammenhängend)

Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als '''lokaler''' Erhaltungssatz:

{{Gln|<math>\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\rho (\bar{r},t)+\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math>|Kontiuitätsgleichung}}

Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die '''Divergenzfreiheit  des Stroms''':

{{Gln|<math>\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math>|Divergenzfreiheit des Stroms}}

Aber: natürlich muss deswegen nicht <math>\bar{j}(\bar{r},t)=0</math> gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein!