Editing Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|1}}</noinclude>

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet! (Einstein, 1904).
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!
* Kugelwellen sind
* → Lorentz- Invariant, also:
* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>

Für Lorentz- Transformationen!

<u>'''Formalisierung:'''</u>
<u>'''Der Raumzeitliche Abstand als'''</u>

:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen! zwischen den Inertialsystemen :
:<math>\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }</math>

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
Dann schreibt man
:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>
als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der '''linearen orthogonalen '''Transformation, unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

<u>'''kontravariante Komponenten:'''</u>

:<math>\begin{align}
& {{x}^{i}} \\
& {{x}^{1}}:=ct \\
& {{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \\
\end{align}</math>

als Komponenten des Ortsvektors
:<math>\bar{r}</math>
:

<u>'''kovariante Komponenten'''</u>

:<math>\begin{align}
& {{x}_{i}}: \\
& {{x}_{0}}:=ct \\
& {{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\
\end{align}</math>

kovarianter Vektor
:<math>\in \tilde{V}</math>,
 dualer Vektorraum zu V!
Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
→
:<math>\in \tilde{V}</math>
als Raum der linearen Funktionale l:
:<math>V\to R</math>

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet!

Schreibe

:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>

Mit: Summenkonvention!
über je einen ko- und einen kontravarianten Index (hier i =0,1,2,3) wird summiert!

<u>'''Physikalische Anwendung'''</u>

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
:<math>{{a}^{i}}{{a}_{i}}</math>
schreiben!

'''Beispiel: dÁlemebert- Operator:'''

:<math>\#=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>

<u>'''Vierergeschwindigkeit'''</u>

:<math>\begin{align}
& {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{{\left( ds \right)}^{2}}}=1 \\
& mit \\
& ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}dt}}=\frac{c}{\gamma }dt \\
& \Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma  \\
& {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }} \\
& {{v}^{\alpha }}:=\frac{d{{x}^{\alpha }}}{dt} \\
& \beta :=\frac{v}{c} \\
& \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\
\end{align}</math>

'''Physikalische Interpretation'''

:<math>\begin{align}
& {{u}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\
& d\tau =\frac{dt}{\gamma } \\
\end{align}</math>

'''Viererimpuls'''

:<math>{{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}</math>
mit der Ruhemasse  m0

Also:

:<math>\begin{align}
& {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}} \\
& {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\
& \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\
& {{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c} \\
& {{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }} \\
&  {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}} \\
\end{align}</math>

Mit der Energie

:<math>E=m(v){{c}^{2}}</math>

'''Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:'''

:<math>\begin{align}
& {{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}} \\
& {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\
& {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\
& {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\
\end{align}</math>

<u>'''Der metrische Tensor'''</u>

:<math>{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left. \left\{ \begin{matrix}
{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0  \\
-{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3  \\
\end{matrix} \right. \right\}={{g}_{ik}}</math>

:<math>{{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & -1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & -1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & -1  \\
\end{matrix} \right)</math>

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

:<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}</math>

Wichtig fürs Skalarprodukt:

:<math>d{{s}^{2}}={{g}^{ik}}d{{x}_{i}}d{{x}_{k}}={{g}_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}</math>

<u>Lorentz- Trafo</u>

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

:<math>\begin{align}
& \left( {{x}^{0}}\begin{matrix},
 & {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
ct, & x, & y, & z  \\
\end{matrix} \right) \\
& d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}} \\
\end{align}</math>

Nämlich:

:<math>\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
{{x}_{0}}\acute{\ }  \\
{{x}_{1}}\acute{\ }  \\
{{x}_{2}}\acute{\ }  \\
{{x}_{3}}\acute{\ }  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
{{x}_{0}}  \\
{{x}_{1}}  \\
{{x}_{2}}  \\
{{x}_{3}}  \\
\end{matrix} \right) \\
& x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\
\end{align}</math>

Mit
:<math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)</math>

für
:<math>v||{{x}_{1}}</math>

Wesentliche Eigenschaft (die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

:<math>\begin{align}
& {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l} \\
& \Rightarrow a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\
\end{align}</math>

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
Bzw.
Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein!

Umkehr- Transformation:

:<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>