Editing Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=3|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

Die klassische relativistische {{FB|Dispersionsrelation|klassisch}} <math>E=E\left( {\underline{p}} \right)</math> für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet:

{{NumBlk|:|	

:<math>{{E}^{2}}={{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}</math>

:	|(1.15)|RawN=.}}

* Potential ϕ, Vektorpotential <u>A </u>beschreiben das elektromagnetische Feld der Maxwell-Gleichungen. Wie ädert sich damit (1.15)? Erinnerung:
{{NumBlk|:|	

:<math>\begin{align}

\text{Magnetfeld}\quad \underline{B}&=\underline{\nabla }\times \underline{A} \\

\text{elektrisches Feld}\quad \underline{E}&=-\underline{\nabla }\phi -\frac{1}{c}{{\partial }_{t}}\underline{A} \\

\end{align}</math>

:	|(1.16)|RawN=.}}

* <u>E</u> und <u>B</u> ändern sich nicht bei {{FB|Eichtransformation}}
{{NumBlk|:|	

:<math>\begin{align}

& \underline{A}\to \underline{A}+\underline{\nabla }.\chi  \\

& \phi \to \phi -\frac{1}{c}{{\partial }_{t}}\chi  \\

\end{align}</math>

:	|(1.17)|RawN=.}}

mit einer beliebigen skalaren Funktion <math>\chi =\chi \left( \underline{x},t \right).</math>


* Klassische Mechanik: <u>E</u> und <u>B</u> in {{FB|Hamiltonfunktion|elektrisches Feld}} eines Teilchens mit Masse ''m'', Ladung ''e'' „einbauen“ durch
{{NumBlk|:|	<math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}\to H=\frac{{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}}{2m}+e\phi </math>

	|(1.18)|RawN=.}}

:aus den {{FB|Hamilton-Gleichungen|klassische Mechanik}} <math>\underline{\dot{r}}={{\partial }_{{\underline{p}}}}H\quad \underline{\dot{p}}=-{{\partial }_{{\underline{r}}}}H</math> folgt <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>

:	<math>m\ddot{\underline{r}}=e\left( \dot{\underline{r}}\times \underline{B}+\underline{E}\, \right)</math>

:d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur <u>E</u> und <u>B</u> in ihr auftreten, d.h. die Bahn <math>\left( \dot{\underline{r}},\underline{r} \right)</math>im Phasenraum nicht von <math>\chi </math> vgl. (1.17) abhängt.

* Quantenmechanik
**  Schrödingergleichung durch {{FB|Korrespondenzprinzip}} <math>\underline{p}\to \hat{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math>
{{NumBlk|:|	

:<math>\mathfrak{i} \hbar {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi =\left\{ \frac{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}}{2m}+e\phi  \right\}\Psi </math>

	|(1.19)|RawN=.}}
::(durch Vergleich mit (1.18))
** Schrödingergleichung + {{FB|Prinzip der lokalen Eichinvarianz}} (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
*** Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung <math>\mathfrak{i} \hbar {{\partial }_{t}}\Psi =\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi </math>
*** Schritt 2: Mit <math>\Psi \left( \underline{x},t \right)</math>erfüllt auch <math>\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{i\varphi }}</math>mit <math>\varphi \in \mathbb{R}</math>konstant die Schrödingergleichung und beschreibt dieselbe Physik:
:::Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen
{{NumBlk|:|

:<math>\int{{{\Psi }^{*}}\left( \underline{x},t \right)\hat{O}\left( \underline{x},\underline{\nabla },{{\partial }_{t}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}x}=\text{invariant}</math>

|(1.20)|RawN=.}}

*** Schritt 3: (Prinzip der <u>lokalen</u> Eichinvarianz) ändere die Schrödingergleichung so, dass lokale Eichtransformationen
{{NumBlk|:|	

:<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)\to \Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}</math>

:	|(1.21)|RawN=.}}

nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch <math>\Psi {{e}^{i\varphi \left( \underline{x},t \right)}}</math> eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte.

===Lösung===

Lösung: 	In (1.20) machen <math>\underline{\nabla }</math> und <math>{{\partial }_{t}}</math>in

:<math>\hat{O}\left( \underline{x},\underline{\nabla },{{\partial }_{t}} \right)</math>

Probleme, da z.B.

{{NumBlk|:|	

:<math>\underline{\nabla }\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{i\varphi \left( \underline{x},t \right)}}\ne {{e}^{i\varphi \left( \underline{x},t \right)}}\underline{\nabla }\Psi \left( \underline{x},t \right)</math>

:	|(1.22)|RawN=.}}

was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren.

Idee: ersetze Ableitung <math>\underline{\nabla }</math>durch „{{FB|kovariante Ableitung}}“ D<ref><math>\underline{D}\Psi </math> für Wellenfunktion ohne extra Phase <math>{{e}^{\mathfrak{i} \varphi }}</math>,<math>{{\underline{D}}_{\varphi }}\Psi {{e}^{\mathfrak{i} \varphi }}</math>für Wellenfunktion mit extra Phase</ref>, so dass

{{NumBlk|:|	

:<math>{{\underline{D}}_{\phi }}\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}={{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}\underline{D}\Psi \left( \underline{x},t \right)</math>

:	|(1.23)|RawN=.}}

Mit dem Ansatz <math>{{\underline{D}}_{\varphi }}=\underline{\nabla }+{{\underline{f}}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)</math> und ebenso für die Zeitableitung <math>{{\partial }_{t}}\to D_{\varphi }^{0}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left( t \right)</math> folgt dann

:<math>\begin{align}

& {{{\underline{D}}}_{\varphi }}\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}=\left( \underline{\nabla }\Psi  \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}+\Psi \mathfrak{i} \left( \underline{\nabla }\varphi  \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}+{{{\underline{f}}}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)\quad ={{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}\left( {{{\underline{D}}}_{\varphi }}+\mathfrak{i} \underline{\nabla }\varphi  \right)\Psi  \\

& D_{\varphi }^{0}\Psi \left( \underline{x},t \right){{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}=\quad \quad \quad \quad \quad \quad ={{e}^{\mathfrak{i} \varphi \left( \underline{x},t \right)}}\left( \underline{D}_{\varphi }^{0}+\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\varphi  \right)\Psi  \\

\end{align}</math>

Die lokale Eichtransformation bewirkt also

{{NumBlk|:|	

:<math>\begin{align}

& {{{\underline{D}}}_{\varphi }}=\underline{\nabla }+{{{\underline{f}}}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)\quad \leftrightarrow \quad \underline{D}=\underline{\nabla }+{{{\underline{f}}}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)+\mathfrak{i} \nabla \varphi \left( \underline{x},t \right) \\

& {{D}_{0}}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)\quad \leftrightarrow \quad {{D}^{0}}={{\partial }_{t}}+{{g}_{\varphi }}\left( \underline{x},t \right)+\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\varphi \left( \underline{x},t \right) \\

\end{align}</math>

:	|(1.24)|RawN=.}}

Nun liefert der Vergleich mit (1.17)

:<math>\underline{A}\to \underline{A}+\underline{\nabla }.\chi \quad \phi \to \phi -{{\partial }_{t}}\chi \quad \text{mit }\chi \in \mathbb{R}\quad c=1</math>

:<math>{{\underline{f}}_{\varphi }}=\mathfrak{i} \alpha \underline{A},\quad \varphi =\alpha \chi ,\quad {{g}_{\varphi }}=-\mathfrak{i} \alpha \varphi ,\quad \alpha \in \mathbb{R}</math>

in der Schrödingergleichung steht also statt <math>\underline{\nabla }</math> nun <math>\underline{\nabla }+\mathfrak{i} \alpha \underline{A}</math> und statt <math>{{\partial }_{t}}</math> nun <math>{{\partial }_{t}}-\mathfrak{i} \alpha \varphi </math> mit <math>{{\underline{f}}_{\varphi }},{{g}_{\varphi }}</math> als <u>Eichfelder.</u>

Sei<math>\hbar =1</math>. Statt

:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{{\underline{\nabla }}}{\mathfrak{i} } \right)}^{2}}\Psi \to \text{nun }\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi +\alpha \phi \Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{{\underline{\nabla }}}{\mathfrak{i} }+\alpha \underline{A} \right)}^{2}}\Psi </math>

Die Umbenennung von <math>\alpha \to -e</math>liefert

{{NumBlk|:|	

:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left\{ \frac{{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}}{2m}+e\phi  \right\}\Psi </math>

:	|(1.25)|RawN=.}}


===Diskussion===

* Die „Vorschrift“ <math>\underline{p}\to \underline{p}-e\underline{A}</math> heißt {{FB|minimale Kopplung}}
* Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und <u>A</u> sowie die {{FB|Kopplungskonstante}} e quasi „hergeleitet“.
** Jetzt {{FB|Klein-Gordon-Gleichung|elektrisches Feld}} mit ϕ, <u>A</u>: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung
{{NumBlk|:|	

:<math>\begin{align}

& \hat{\underline{p}}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }\quad \to \hat{\underline{p}}-e\underline{A}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }-e\underline{A} \\

& {{\partial }_{t}}\quad \to {{\partial }_{t}}+\mathfrak{i} e\phi  \\

\end{align}</math>

:	|(1.26)|RawN=.}}

:<math>\begin{align}

& \square =\partial _{t}^{2}-{{{\underline{\nabla }}}^{2}}\quad \to {{\left( {{\partial }_{t}}+\mathfrak{i} e\varphi  \right)}^{2}}-{{\left( \underline{\nabla }-\frac{\mathfrak{i} e}{\hbar }\underline{A} \right)}^{2}} \\

& \left( \square +{{m}^{2}} \right)\Psi =0\quad \to \left\{ {{\left( {{\partial }_{t}}+\mathfrak{i} e\varphi  \right)}^{2}}-{{\left( \underline{\nabla }-\mathfrak{i} e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right\}\Psi =0\quad \left( \hbar =c=1 \right) \\

\end{align}</math>

<u>Anwendung: </u>Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: <math>\underline{A}=0,\quad e\phi =-\frac{Z}{\alpha }</math>. Ähnlich wie bei der{{FB|Schrödingergleichung|Wasserstoffproblem}} für das Wasserstoffproblem haben wir

{{NumBlk|:|	

:<math>\left\{ {{\left( {{\partial }_{t}}+\mathfrak{i} e\varphi  \right)}^{2}}-\Delta +m_{0}^{2} \right\}\Psi =0</math>

:	|(1.27)|RawN=.}}

Lösen durch {{FB|Separationsansatz}}

:<math>\Psi \left( r,\theta ,\varphi ;t \right)={{e}^{\mathfrak{i} Et}}\underbrace{{{Y}_{lm}}\left( \theta ,\varphi  \right)}_{\text{Kugelfl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ chenfunktionen}}\frac{\chi \left( r \right)}{x}</math>

* Radialgleichung für {{FB|Radialwellenfunktionen}}<math>\chi \left( r \right)</math>
* Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)''''' </font>liefert
{{NumBlk|:|	<math>E=\pm {{m}_{0}}\left( 1-\frac{{{Z}^{2}}{{\alpha }^{2}}}{2{{n}^{2}}}+\frac{{{Z}^{2}}{{\alpha }^{4}}}{{{n}^{4}}}\left[ \frac{3}{8}-\frac{n}{2l+1} \right]+O\left( {{z}^{6}}{{\alpha }^{6}} \right) \right)</math>

	|(1.28)|RawN=.}}

hier gibt es positive und negative Lösungen <math>\underbrace{n}_{\text{Hauptquantenzahl}}\equiv \underbrace{{{n}_{r}}}_{\text{Radialquantenzahl}}+1+l</math>

Der 3. Termin in (1.28) ist die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie. Spin wird durch Klein-Gordon-Gleichung nicht beschrieben deshalb ist (1.28) nicht geeignet für Feinstruktur des H-Atoms

Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen.

Spin ½ &rarr; Dirac Gleichung

<references />