Editing Klein Gordon Gleichung
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=1|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=1|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
Ein quantenmechanisches {{FB|Wellenpaket}} hat die Form | Ein quantenmechanisches {{FB|Wellenpaket}} hat die Form | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math> | <math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math> | ||
: |(1.1)}} | |||
wobei d die Raumdimension angibt. | |||
{{NumBlk|:|Nach Schrödinger (nicht relativistisch) | |||
<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math> | |||
: |(1.2)}} | |||
was auf die {{FB|Schrödingergleichung|freies Teilchen}} | |||
{{NumBlk|:| | |||
<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math> | |||
: |(1.3)}} | : |(1.3)}} | ||
führt. | |||
Relativistisch (SRT) gilt | Relativistisch (SRT) gilt | ||
{{NumBlk|:| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> |(1.4)}} | {{NumBlk|:| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> |(1.4)}} | ||
wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>. | |||
<u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u> | <u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u> | ||
Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}: | Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}: | ||
{{NumBlk|:|Klein-Gordon-Gleichung <math>\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0</math> | {{NumBlk|:|Klein-Gordon-Gleichung | ||
<math>\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0</math> | |||
: |(1.5)|Border=1}} | : |(1.5)|Border=1}} | ||
Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | ||
{{NumBlk|:|{{FB|Kontinuitätsgleichung}} <math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>|(1.6)}} | {{NumBlk|:|{{FB|Kontinuitätsgleichung}} | ||
<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math> | |||
: |(1.6)}} | |||
mit | |||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\begin{align} | |||
& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{*}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{*}} \right) \\ | & \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{*}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{*}} \right) \\ | ||
& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}} \right) \\ | & \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}} \right) \\ | ||
Line 36: | Line 42: | ||
Allerdings gilt | Allerdings gilt | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\ | & \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\ | ||
& =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0 | & =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0 | ||
\end{align}</math> für<math>\omega \left( {\underline{k}} \right)>0</math>. | \end{align}</math> für<math>\omega \left( {\underline{k}} \right)>0</math>. | ||
Line 45: | Line 53: | ||
* Schreibweise | * Schreibweise | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\left( \square +\frac{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}} \right)\Psi =0</math> | |||
: |(1.8)}} | : |(1.8)}} | ||
mit <math>\frac{\hbar }{mc}</math>der {{FB|Compton-Wellenlänge}} als charakteristische Längenskala. | mit <math>\frac{\hbar }{mc}</math>der {{FB|Compton-Wellenlänge}} als charakteristische Längenskala. | ||
Line 53: | Line 61: | ||
==Literatur== | ==Literatur== | ||
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT> | <FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT> | ||
==Siehe auch== | ==Siehe auch== | ||
[[Klein-Gordon-Gleichung]] | [[Klein-Gordon-Gleichung]] | ||
</noinclude> | </noinclude> |