Editing Klein Gordon Gleichung
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=1|Prof= | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=1|Prof=Brandes|Kategorie=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
Ein quantenmechanisches {{FB|Wellenpaket}} hat die Form | |||
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT> | |||
Ein quantenmechanisches Wellenpaket{{FB|Wellenpaket}} hat die Form | |||
<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i}\omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i}\underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math> | |||
: (1.1) | |||
: | |||
wobei d die Raumdimension angibt. | |||
Nach Schrödinger (nicht relativistisch) | |||
<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad\text{mit }\hbar=1</math> | |||
: (1.2) | |||
was auf die Schrödingergleichung{{FB|Schrödingergleichung:freies Teilchen}} | |||
<math>\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad\hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math> | |||
: (1.3) | |||
führt. | |||
Relativistisch (SRT) gilt | Relativistisch (SRT) gilt | ||
< | <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> (1.4) | ||
wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbark</math>. | |||
Ab jetzt gilt <math>c=1</math>. | |||
Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}: | Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}: | ||
: | Klein-Gordon-Gleichung | ||
<math>\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0</math> | |||
: (1.5) | |||
Es gilt die <font color="#FFFF00">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | |||
Kontinuitätsgleichung{{FB|Kontinuitätsgleichung}} | |||
<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math> | |||
: (1.6) | |||
mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i}m}\left( {{\Psi }^{*}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{*}} \right) \\ | |||
& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}} \right) \\ | & \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}} \right) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
: | |||
: (1.7) | |||
Dabei ist die Stromdichte (<math>\underline{j}</math>) wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen <u>nicht positiv</u>! | Dabei ist die Stromdichte (<math>\underline{j}</math>) wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen <u>nicht positiv</u>! | ||
Allerdings gilt | Allerdings gilt | ||
<math>\begin{align} | |||
& \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\ | & \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\ | ||
& =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0 | & =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0 | ||
\end{align}</math> für<math>\omega \left( {\underline{k}} \right)>0</math>. | \end{align}</math> für<math>\omega \left( {\underline{k}} \right)>0</math>. | ||
Line 44: | Line 75: | ||
* Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von ''t'' und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem (<math>\Psi \left( t=0 \right)\Rightarrow \Psi \left( t>0 \right)</math>) nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von<math>{{\partial }_{t}}\Psi {{|}_{t=0}}</math>. | * Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von ''t'' und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem (<math>\Psi \left( t=0 \right)\Rightarrow \Psi \left( t>0 \right)</math>) nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von<math>{{\partial }_{t}}\Psi {{|}_{t=0}}</math>. | ||
* Schreibweise | * Schreibweise | ||
* | |||
<math>\left( \square +\frac{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\hbar}^{2}}} \right)\Psi =0</math> | |||
: | : (1.8) | ||
mit <math>\frac{\hbar }{mc}</math>der {{FB|Compton-Wellenlänge}} als charakteristische Längenskala. | mit <math>\frac{\hbar}{mc}</math>der <u>Compton-Wellenlänge{{FB|Compton-Wellenlänge}}</u> als charakteristische Längenskala. | ||
Hier ist <math>\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math> der {{FB|d’Alambert-Operator}}. | Hier ist <math>\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math> der d’Alambert-Operator{{FB|d’Alambert-Operator}}. | ||