Editing Klein Gordon Gleichung
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=1|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=1|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
Ein quantenmechanisches {{FB|Wellenpaket}} hat die Form | Ein quantenmechanisches {{FB|Wellenpaket}} hat die Form | ||
{{NumBlk|:|<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math> | {{NumBlk|:| | ||
<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math> | |||
: |(1.1)}} | |||
{{NumBlk||Nach Schrödinger (nicht relativistisch) <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>|(1.2)}} | wobei d die Raumdimension angibt. | ||
{{NumBlk|:|Nach Schrödinger (nicht relativistisch) | |||
<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math> | |||
: |(1.2)}} | |||
was auf die {{FB|Schrödingergleichung|freies Teilchen}} | |||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math> | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math> | ||
: |(1.3)}} | : |(1.3)}} | ||
führt. | |||
Relativistisch (SRT) gilt | Relativistisch (SRT) gilt | ||
{{NumBlk|:| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> |(1.4)}} | {{NumBlk|:| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> |(1.4)}} | ||
wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>. | |||
<u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u> | <u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u> | ||
Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}: | Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}: | ||
{{NumBlk|:|Klein-Gordon-Gleichung <math>\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0</math> | {{NumBlk|:|Klein-Gordon-Gleichung | ||
<math>\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0</math> | |||
: |(1.5)|Border=1}} | : |(1.5)|Border=1}} | ||
Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | ||
{{NumBlk|:|{{FB|Kontinuitätsgleichung}} <math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>|(1.6)}} | {{NumBlk|:|{{FB|Kontinuitätsgleichung}} | ||
<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math> | |||
: |(1.6)}} | |||
mit | |||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} |