Editing Klein- Gordon- Gleichung
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Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math> | Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math> | ||
eine '''nicht analytische Funktion''' eines Operators ist! | eine '''nicht analytische Funktion''' eines Operators ist ! | ||
Ausweg: | Ausweg: | ||
:<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math> | :<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math> | ||
Line 68: | Line 68: | ||
Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math> ein Lorentz- Skalar ist. | Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math> ein Lorentz- Skalar ist. | ||
Dies liegt einfach daran, dass <math>\Box={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math> | Dies liegt einfach daran, dass <math>\Box={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math> | ||
Lorentz- invariant ist (Skalarprodukt eines Vierervektors) | Lorentz- invariant ist ( Skalarprodukt eines Vierervektors) | ||
Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung: | Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung: | ||
der Spin (der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist!) kann nicht berücksichtigt werden! Denn: Der Zusatz <math>\hat{H}\to \hat{H}-\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math> | der Spin ( der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist !) kann nicht berücksichtigt werden ! Denn: Der Zusatz <math>\hat{H}\to \hat{H}-\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math> | ||
ist nicht mehr Lorentz- invariant! | ist nicht mehr Lorentz- invariant ! | ||
Klar! <math>\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math> | Klar ! <math>\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math> | ||
läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen! | läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen ! | ||
Durch die schwierige Interpretation von <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math> | Durch die schwierige Interpretation von <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math> | ||
ist die Klein- Gordon- Gleichung dann letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen <math>\begin{align} | ist die Klein- Gordon- Gleichung dann letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen <math>\begin{align} | ||
Line 80: | Line 80: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen! | nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen ! | ||
Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist!: | Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist !: | ||
Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung (Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet: | Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung ( Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet: | ||
:<math>{{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math> | :<math>{{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math> | ||
Line 99: | Line 99: | ||
Dadurch ist jedoch <math>\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0</math> | Dadurch ist jedoch <math>\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0</math> | ||
eine Kontinuitätsgleichung. Also hat <math>{{J}^{0}}</math> | eine Kontinuitätsgleichung. Also hat <math>{{J}^{0}}</math> | ||
die Bedeutung einer räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte!! | die Bedeutung einer räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte !! | ||
Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen: | Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen: | ||
:<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math> | :<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math> | ||
Line 125: | Line 125: | ||
Aber <math>\frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right)</math> | Aber <math>\frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right)</math> | ||
kann nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, da <math>{{J}^{0}}</math> | kann nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden , da <math>{{J}^{0}}</math> | ||
negativ werden kann! | negativ werden kann ! | ||
Statt dessen kann man, bzw. muss man <math>{{J}^{0}}</math> | Statt dessen kann man , bzw. muss man <math>{{J}^{0}}</math> | ||
als eine Ladungsdichte ansehen! | als eine Ladungsdichte ansehen ! | ||
== Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen! == | == Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen ! == | ||
Ansatz: ebene Welle: | Ansatz: ebene Welle: | ||
Line 154: | Line 154: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Also kann man die Energie (Eigenwert) angeben zu | Also kann man die Energie ( Eigenwert) angeben zu | ||
:<math>E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}</math> | :<math>E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}</math> | ||
Line 167: | Line 167: | ||
'''E>0''' entspricht einem Teilchen der Ruheenergie <math>{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math> | '''E>0''' entspricht einem Teilchen der Ruheenergie <math>{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math> | ||
'''E<0''' dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie <math>-{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse! | '''E<0''' dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie <math>-{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse ! | ||
Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind. | Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind. | ||
Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum! | Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum ! | ||
Die Einstrahlung einer Energie <math>E>2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math> | Die Einstrahlung einer Energie <math>E>2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math> | ||
ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung! | ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung! | ||
Line 175: | Line 175: | ||
Aus dem Vakuum! | Aus dem Vakuum! | ||
Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie! | Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich ! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie! | ||
Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums! | Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums ! | ||
Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit <math>m<0</math> | Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit <math>m<0</math> | ||
und der Ladung q. | und der Ladung q. | ||
Line 186: | Line 186: | ||
reicht die Energie nicht aus, also <math>E<2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen. | reicht die Energie nicht aus, also <math>E<2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen. | ||
Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine "Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit (Rate der spontanen/ induzierten Emission!) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung! | Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine "Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit ( Rate der spontanen/ induzierten Emission!) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung ! |