Editing Klassisch- mechanische Gleichgewichtsverteilungen
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Anwendung des | Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen (z.B. Moleküle eines Gases, 3N freiheitsgrade) | ||
'''Voraussetzung''' | <u>'''Voraussetzung'''</u> | ||
gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> | gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> | ||
Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den | Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte <math>{{q}_{k}}</math> und Impulse <math>{{p}_{k}}</math> | ||
'''Begründung''' | '''Begründung''' | ||
{{FB|Liouville- Theorem}} - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung! | {{FB|Liouville- Theorem}} | ||
- notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung! | |||
'''Hamiltonfunktion''' | '''Hamiltonfunktion''' | ||
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:<math>\xi (t)</math> | :<math>\xi (t)</math> | ||
als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math> (bei euklidischer | als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>(bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld | ||
:<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math> | :<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math> | ||
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:<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | :<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | ||
Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): | Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> | ||
als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): | |||
:<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> | :<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
{{ | {{Def|Theorem von Liouville: | ||
Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System! | Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System! | ||
Line 77: | Line 80: | ||
Phasenvolumina im <math>\Gamma </math> | Phasenvolumina im <math>\Gamma </math> | ||
- Raum sind invariant!| | - Raum sind invariant!|Theorem von Liouville}} | ||
Aber: Verformung ist natürlich zulässig!! <math>\begin{align} | Aber: Verformung ist natürlich zulässig!! <math>\begin{align} | ||
Line 91: | Line 94: | ||
'''Ergänzung''' | '''Ergänzung''' | ||
Die Metrik in <math>\Gamma </math> | Die Metrik in <math>\Gamma </math> | ||
kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten. | |||
'''Nebenbemerkung: '''Gilt nur für kanonische Variablen p,q | |||
<u>'''Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung'''</u> | |||
Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | ||
Line 110: | Line 114: | ||
bei m unabhängigen Observablen! | bei m unabhängigen Observablen! | ||
Ensemble-Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand! | Ensemble- Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand! | ||
Das {{FB|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt: | Das {{FB|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt: |