Editing Klassisch- mechanische Gleichgewichtsverteilungen
Jump to navigation
Jump to search
The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.
Latest revision | Your text | ||
Line 2: | Line 2: | ||
Anwendung des | Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen ( z.B. Moleküle eines Gases, 3N freiheitsgrade) | ||
'''Voraussetzung''' | <u>'''Voraussetzung'''</u> | ||
gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> | gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> | ||
Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den | Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte <math>{{q}_{k}}</math> und Impulse <math>{{p}_{k}}</math> | ||
'''Begründung''' | '''Begründung''' | ||
{{FB|Liouville- Theorem}} - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung! | {{FB|Liouville- Theorem}} | ||
- notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung ! | |||
'''Hamiltonfunktion''' | '''Hamiltonfunktion''' | ||
Line 31: | Line 32: | ||
:<math>\xi (t)</math> | :<math>\xi (t)</math> | ||
als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math> (bei euklidischer | als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>( bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld | ||
:<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math> | :<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math> | ||
Line 39: | Line 40: | ||
:<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | :<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | ||
Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): | Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> | ||
als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): | |||
:<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> | :<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> | ||
Line 69: | Line 72: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
{{ | {{Def|Theorem von Liouville: | ||
Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System! | Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System ! | ||
Phasenfluss | Phasenfluss -> inkompressible Flüssigkeit | ||
Phasenvolumina im <math>\Gamma </math> | Phasenvolumina im <math>\Gamma </math> | ||
- Raum sind invariant!| | - Raum sind invariant !|Theorem von Liouville}} | ||
Aber: Verformung ist natürlich zulässig!! <math>\begin{align} | Aber: Verformung ist natürlich zulässig !! <math>\begin{align} | ||
& \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | & \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | ||
Line 91: | Line 94: | ||
'''Ergänzung''' | '''Ergänzung''' | ||
Die Metrik in <math>\Gamma </math> | Die Metrik in <math>\Gamma </math> | ||
kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten . | |||
'''Nebenbemerkung: '''Gilt nur für kanonische Variablen p,q | |||
<u>'''Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung'''</u> | |||
Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | ||
Line 108: | Line 112: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
bei m unabhängigen Observablen! | bei m unabhängigen Observablen ! | ||
Ensemble-Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand! | Ensemble- Mittelwerte ! sind gegeben als Info über den Zustand ! | ||
Das {{FB|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt: | Das {{FB|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt: | ||
Line 118: | Line 122: | ||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor <math>\frac{1}{N!}</math> rein! | Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor <math>\frac{1}{N!}</math> rein ! | ||
{{Beispiel|1= 1. <u>'''Kanonische Verteilung'''</u> | {{Beispiel|1= 1. <u>'''Kanonische Verteilung'''</u> | ||
Line 134: | Line 138: | ||
:<math>\left\langle {{M}^{1}} \right\rangle =U</math> | :<math>\left\langle {{M}^{1}} \right\rangle =U</math> | ||
innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes! | innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes ! | ||
:<math>Z=\exp \left( -\Psi \right)=\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d\xi \exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | :<math>Z=\exp \left( -\Psi \right)=\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d\xi \exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | ||
kanonische Zustandssumme (Partition function) | kanonische Zustandssumme ( Partition function) | ||
:<math>\rho \left( \xi \right)={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | :<math>\rho \left( \xi \right)={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | ||
Line 144: | Line 148: | ||
als Dichteverteilung | als Dichteverteilung | ||
* in der QM: statistischer Operator! | * in der QM: statistischer Operator ! | ||
}} | }} | ||
{{Beispiel|1=2. '''Großkanonische Verteilung''' | {{Beispiel|1=2. '''Großkanonische Verteilung''' | ||
Line 192: | Line 196: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind! | Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind ! | ||
= Marginalverteilung von | = Marginalverteilung von | ||
Line 215: | Line 219: | ||
{{Beispiel|<u>'''Beispiel'''</u> | {{Beispiel|<u>'''Beispiel'''</u> | ||
Klassisches ideales Gas (ohne Wechselwirkung): | Klassisches ideales Gas ( ohne Wechselwirkung): | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} |