Editing Klassisch- mechanische Gleichgewichtsverteilungen
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Anwendung des | Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen ( z.B. Moleküle eines Gases, 3N freiheitsgrade) | ||
'''Voraussetzung''' | <u>'''Voraussetzung'''</u> | ||
gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> | * gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> | ||
Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den | * | ||
* Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> | |||
* den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte <math>{{q}_{k}}</math> | |||
* und Impulse <math>{{p}_{k}}</math> | |||
* | |||
'''Begründung''' | '''Begründung''' | ||
* Liouville- Theorem | |||
* - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung ! | |||
Hamiltonfunktion | |||
<math>H\left( \xi \right)=H\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)</math> | |||
Hamiltonsche Gleichungen: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \\ | & {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \\ | ||
| Line 29: | Line 34: | ||
Lösung: | Lösung: | ||
<math>\xi (t)</math> | |||
als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math> | als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math> | ||
( bei euklidischer metrik) | |||
gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld | |||
<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math> | |||
Es gilt: | Es gilt: | ||
<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | |||
Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> | |||
als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz | |||
( Kontinuitätsgleichung): | |||
<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> | |||
Interpretation: | Interpretation: | ||
<math>\rho \left( \xi ,t \right)</math> | |||
Dichte des Phasenflusses | |||
<math>\dot{\xi }</math> | |||
Geschwindigkeit des Phasenflusses | |||
<math>\rho \dot{\xi }</math> | |||
Stromdichte des Phasenflusses | |||
Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist: | Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist: | ||
<math>\frac{d\rho \left( \xi ,t \right)}{dt}=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)</math> | |||
Wegen <math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | Wegen <math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | ||
| Line 59: | Line 78: | ||
folgt aus der Kontinuitätsgleichung | folgt aus der Kontinuitätsgleichung | ||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | & \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | ||
| Line 69: | Line 88: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Theorem von Liouville: | |||
Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System! | Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System ! | ||
Phasenfluss | Phasenfluss -> inkompressible Flüssigkeit | ||
Phasenvolumina im <math>\Gamma </math> | Phasenvolumina im <math>\Gamma </math> | ||
- Raum sind invariant! | - Raum sind invariant ! | ||
Aber: Verformung ist natürlich zulässig!! <math>\begin{align} | Aber: Verformung ist natürlich zulässig !! <math>\begin{align} | ||
& \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | & \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | ||
| Line 91: | Line 110: | ||
'''Ergänzung''' | '''Ergänzung''' | ||
Die Metrik in <math>\Gamma </math> | Die Metrik in <math>\Gamma </math> | ||
kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten . | |||
'''Nebenbemerkung: '''Gilt nur für kanonische Variablen p,q | |||
<u>'''Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung'''</u> | |||
Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{n}}\left( \xi \right) \\ | & \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{n}}\left( \xi \right) \\ | ||
| Line 108: | Line 128: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
bei m unabhängigen Observablen! | bei m unabhängigen Observablen ! | ||
Ensemble-Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand! | Ensemble- Mittelwerte ! sind gegeben als Info über den Zustand ! | ||
Das | Das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung ergibt: | ||
<math>\rho \left( \xi \right)=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}\left( \xi \right) \right)</math> | |||
'''Beispiele:''' | |||
Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor | Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor | ||
{{ | <math>\frac{1}{N!}</math> | ||
rein ! | |||
# <u>'''Kanonische Verteilung'''</u> | |||
m=1: | m=1: | ||
<math>{{M}^{1}}\left( \xi \right)=H\left( \xi \right)</math> | |||
Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion" | Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion" | ||
<math>{{\lambda }_{1}}=\beta </math> | |||
thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter | thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter | ||
<math>\left\langle {{M}^{1}} \right\rangle =U</math> | |||
innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes! | innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes ! | ||
<math>Z=\exp \left( -\Psi \right)=\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d\xi \exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | |||
kanonische Zustandssumme (Partition function) | kanonische Zustandssumme ( Partition function) | ||
<math>\rho \left( \xi \right)={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | |||
als Dichteverteilung | als Dichteverteilung | ||
* in der QM: statistischer Operator! | * in der QM: statistischer Operator ! | ||
# <u>'''Großkanonische Verteilung'''</u> | |||
m=2: | m=2: | ||
<math>{{M}^{2}}\left( \xi \right)=N</math> | |||
Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße | Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße | ||
<math>{{\lambda }_{2}}=-\beta \mu </math> | |||
Konvention | Konvention | ||
<math>\left\langle {{M}^{2}} \right\rangle =\bar{N}</math> | |||
mittlere Teilchenzahl | mittlere Teilchenzahl | ||
<math>Y=\exp \left( -\Psi \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}\exp \left[ -\beta \left( H\left( {{\xi }_{N}} \right)-\mu N \right) \right]</math> | |||
grokanonische Zustandssumme | grokanonische Zustandssumme | ||
| Line 168: | Line 192: | ||
Phasenraum: | Phasenraum: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \xi \in \Gamma =\bigcup\limits_{N=1}^{\infty }{{}}{{R}^{6N}} \\ | & \xi \in \Gamma =\bigcup\limits_{N=1}^{\infty }{{}}{{R}^{6N}} \\ | ||
| Line 176: | Line 200: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\rho \left( \xi \right)={{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math> | |||
'''Mittelwertfindung:''' | '''Mittelwertfindung:''' | ||
<math>\left\langle M \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right)\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right){{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math> | |||
Mittlere Teilchenzahl: | Mittlere Teilchenzahl: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}N\rho \left( {{\xi }_{N}} \right) \\ | & \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}N\rho \left( {{\xi }_{N}} \right) \\ | ||
| Line 192: | Line 216: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind! | Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind ! | ||
= Marginalverteilung von | = Marginalverteilung von | ||
<math>\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)</math> | |||
bezüglich N | bezüglich N | ||
| Line 202: | Line 226: | ||
Also: | Also: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}N \\ | & \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}N \\ | ||
| Line 212: | Line 236: | ||
Normierung: | Normierung: | ||
<math>1=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}</math> | |||
<u>'''Beispiel'''</u> | |||
Klassisches ideales Gas (ohne Wechselwirkung): | Klassisches ideales Gas ( ohne Wechselwirkung): | ||
<math>\begin{align} | |||
& H\left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m} \\ | & H\left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m} \\ | ||
| Line 229: | Line 254: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
sind übungshalber zu berechnen! | sind übungshalber zu berechnen! | ||