Editing Klassisch- mechanische Gleichgewichtsverteilungen
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Latest revision | Your text | ||
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'''Hamiltonfunktion''' | '''Hamiltonfunktion''' | ||
<math>H\left( \xi \right)=H\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)</math> | |||
'''Hamiltonsche Gleichungen''': | '''Hamiltonsche Gleichungen''': | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \\ | & {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \\ | ||
Line 29: | Line 29: | ||
Lösung: | Lösung: | ||
<math>\xi (t)</math> | |||
als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math> (bei euklidischer Metrik) gegeben durch das 6N-dimensionale Vektorfeld | als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math> (bei euklidischer Metrik) gegeben durch das 6N-dimensionale Vektorfeld | ||
Line 41: | Line 41: | ||
Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): | Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB|Kontinuitätsgleichung}}): | ||
<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math> | |||
Interpretation: | Interpretation: | ||
Line 53: | Line 53: | ||
Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist: | Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist: | ||
<math>\frac{d\rho \left( \xi ,t \right)}{dt}=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)</math> | |||
Wegen <math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | Wegen <math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math> | ||
Line 59: | Line 59: | ||
folgt aus der Kontinuitätsgleichung | folgt aus der Kontinuitätsgleichung | ||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | & \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\ | ||
Line 100: | Line 100: | ||
Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{n}}\left( \xi \right) \\ | & \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{n}}\left( \xi \right) \\ | ||
Line 124: | Line 124: | ||
m=1: | m=1: | ||
<math>{{M}^{1}}\left( \xi \right)=H\left( \xi \right)</math> | |||
Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion" | Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion" | ||
<math>{{\lambda }_{1}}=\beta </math> | |||
thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter | thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter | ||
<math>\left\langle {{M}^{1}} \right\rangle =U</math> | |||
innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes! | innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes! | ||
<math>Z=\exp \left( -\Psi \right)=\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d\xi \exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | |||
kanonische Zustandssumme (Partition function) | kanonische Zustandssumme (Partition function) | ||
<math>\rho \left( \xi \right)={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math> | |||
als Dichteverteilung | als Dichteverteilung | ||
Line 150: | Line 150: | ||
m=2: | m=2: | ||
<math>{{M}^{2}}\left( \xi \right)=N</math> | |||
Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße | Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße | ||
<math>{{\lambda }_{2}}=-\beta \mu </math> | |||
Konvention | Konvention | ||
<math>\left\langle {{M}^{2}} \right\rangle =\bar{N}</math> | |||
mittlere Teilchenzahl | mittlere Teilchenzahl | ||
<math>Y=\exp \left( -\Psi \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}\exp \left[ -\beta \left( H\left( {{\xi }_{N}} \right)-\mu N \right) \right]</math> | |||
grokanonische Zustandssumme | grokanonische Zustandssumme | ||
Line 168: | Line 168: | ||
Phasenraum: | Phasenraum: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \xi \in \Gamma =\bigcup\limits_{N=1}^{\infty }{{}}{{R}^{6N}} \\ | & \xi \in \Gamma =\bigcup\limits_{N=1}^{\infty }{{}}{{R}^{6N}} \\ | ||
Line 176: | Line 176: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\rho \left( \xi \right)={{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math> | |||
'''Mittelwertfindung:''' | '''Mittelwertfindung:''' | ||
<math>\left\langle M \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right)\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right){{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math> | |||
Mittlere Teilchenzahl: | Mittlere Teilchenzahl: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}N\rho \left( {{\xi }_{N}} \right) \\ | & \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}N\rho \left( {{\xi }_{N}} \right) \\ | ||
Line 196: | Line 196: | ||
= Marginalverteilung von | = Marginalverteilung von | ||
<math>\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)</math> | |||
bezüglich N | bezüglich N | ||
Line 202: | Line 202: | ||
Also: | Also: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}N \\ | & \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}N \\ | ||
Line 212: | Line 212: | ||
Normierung: | Normierung: | ||
<math>1=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}</math>}} | |||
{{Beispiel|<u>'''Beispiel'''</u> | {{Beispiel|<u>'''Beispiel'''</u> | ||
Klassisches ideales Gas (ohne Wechselwirkung): | Klassisches ideales Gas (ohne Wechselwirkung): | ||
<math>\begin{align} | |||
& H\left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m} \\ | & H\left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m} \\ |