Editing Kernradien

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=2|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
Kernradienbestimmung durch {{FB|Streuexperimente}} mit hochbeschleunigten Elektronen ({{FB|Hofstadter-Experiment}}e)


[[Datei:Beugungsminimum3.png|miniatur|Hofstadter-Experimente]]
Beugungsmaxima und -minima

Erstes Minimum bei <math>\sin \theta \approx 0,61 \frac{\lambda}{d}</math>

Bedingung: <math>\lambda  \le d</math>

Für Kern <math>\lambda \le 10^{-14} m</math>, als 'Licht' sind hochbeschleunigte Elektronen gut geeignet (keine Starke WW).

Verknüpfung von {{FB|Energie}} E, {{FB|Impuls}} p und {{FB|Wellenlänge}} <math>\lambda</math> durch {{FB|relativistische Energiegleichung}}:

[[Datei:EnergieMasseEinstein4.png|miniatur|zentriert|hochkant=4|Einstein Energiegleichung]]


Für relat. Teilchen (<math>E \gg m_0c^2</math>, exakt für Teilchen mit Ruhemasse <math>m_0= 0</math>, d.h. Photonen, Neutrinos (?), Gravitonen (?), ... ) gilt wegen <math>E = pc</math> für die de Broglie-Wellenlänge <math>\lambda\!\!\!{}^{-}</math>:

:<math>\lambda\!\!\!{}^{-}=\frac{\hbar}{p}=\frac{\hbar c}{E}\approx \frac{3\times 10^{8-34} m}{1.6\times 10^{-19+6} E[MeV]}\approx 200 \frac{10^{-15}}{E[MeV]}</math>

d.h. für <math>E > 200 MeV</math> ist <math>\lambda\!\!\!{}^{-}< 10^{-15} m</math>.

Hofstädter-Experimente am Linearbeschleuniger in Stanford 1957 <ref>(Zusammenfassend: Rev. Mod. Phys. 1Q, 142-584 (1958) http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v30/i2/p412_1)</ref>


[[Datei:PraktischeAusfuehrungKernradius5.png|miniatur|zentriert|hochkant=3]]


Ergebnis der Messungen für viele Elemente: <math>R \approx A^{1/3}=  1,20 A^{1/3} 10^{-15} m</math>


Genauer: kein scharfer Rand


[[Datei:UnscharferKernrand6.png|gerahmt|zentriert|hochkant=4|Für alle Kerne etwa gleiche
Ladungsdichte <math>\rho_0</math> im Inneren
und gleiche Randbreite von
ca. <math>2\times10^{-15}</math> m.]]



Quantitativ beschreibbar durch die '''Wood-Saxon-Formel''':{{Gln|
:<math>\rho(r) = \frac{\rho_0}{1+\exp{\frac{r-R}{a}}}</math>
|Wood-Saxon-Formel}}

Randbreite (90% <math>\to</math> 10% Abfall) <math>\approx 4,40a \approx 2,4 \times10^{-15}m</math>
'Radius' <math>R = 1,07\times A^{1/3} 10^{-15}</math> m



Andere Meßmethoden zur Kernradienbestimmung: {{FB|Isotopieverschiebung}}
(Volumeneffekt) im optischen Bereich 



[[Datei:Isotopenverschiebung7.png|miniatur|miniatur|zentriert|hochkant=4|besonders für S-Elektronen wegen
deren endlicher Aufenthaltswahrscheinlichkeit
am Kernort.
Noch wesentlich stärkerer Effekt
bei myonischen Atomen wegen der
ca. 200x kleineren Bahnradien.]]
==Literatur==
<references />
==Weitere Informationen==
(gehört nicht zum Skript)

[http://www.leifiphysik.de/web_ph12/umwelt_technik/11radien/elektronen.htm Hofstäder-Experiment]

[[w:Hofstadter-Experiment]]
===merken===
* Kernradius <math>R=r_0 \sqrt[3]{A}</math>, mit <math>r_0=(1,3\pm0,1) \text{fm}</math>
* Masse <math>\sim A U  (1 U =1m_u=\frac{1g}{N_A}=931MeV\frac{1}{c})</math>
* Dichte ~ <math>10^{17} fm</math>
* Randschärfe <math>a=0.55\text{fm}</math>
* Messung von Kernradien <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{ZZ'e^2}{4\pi\epsilon_0 4E}\right)^2\frac{1}{\sin^4\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(Z Z' 2m e^2 \right)^2\frac{1}{q^4}</math>
* Erweiterung Mott Streuung mit <math>W^2=p^2c^2+m_0^2c^4</math> <math>\frac{d\sigma}{d\Omega}_{\text{Mott}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(Z Z' 2 W e^2 \right)^2\frac{1}{q^4c^4}\left[1-\frac{v}{c}\sin^2\frac{\theta}{2}\right]</math> Coulomb-Streuung von Elektronen (Spin <math>\frac{1}{2}</math> an spinlosem Target))
====3 Experimentelle Arten zur Bestimmung des Kernradius====
# Hofstädter Experiment
<math>\frac{d\sigma}{d\omega}_{\text{Hof}}=\frac{d\sigma}{d\omega}_{\text{Punkt, Mott}}|F(q^2)|^2</math>
mit <math>F(q)=\int d\vec r \rho(\vec r) \exp{\frac{i}{\hbar}\vec q \vec r}</math> {{Quelle|BS| Gleichung 4.15}}

*Wood Saxon Formel
*Geschwindigkeit >200 MeV mit De-Brogli Wellenlänge im fm Bereich

# Myonische Atome
# Isotopieverschiebung

==Prüfungsfragen==

* Äußere Eigenschaften eines Kerns 
** Masse
** Randschärfe (vgl. Mit Atomhülle)
*Rutherfordscher Steuversuch
**Wie misst man Radius -> Streuexperimente (Rutherford erklärt)
**Was ist der differentielle Wirkungsquerschnitt? 
**Was ist das für eine Größe? ->statistisch Abschätzung des Kernradius über kritischen Winkel, bei dem Abweichung vom Rutherfordstreuquerschnitt vorliegt.
**Was für eine Streuung liegt vor?-> elastische Streuung
**Was verändert sich bei inelastischer Streuung?->Energieübertrag an Target.
**Warum Goldfolie und kein Gas?
*Hofstädter Experiment
**Was ändert sich bei Hofstädter Experiment? -> Wellenmechanische Beschreibung des Streuproblems.
**Was wird gemessen?-> Ladungsverteilung.
** Wie sehen Ladungsverteilungen (Protonverteilung) aus?
**Wie sieht Neutronverteilung aus?-> Wood-Saxon Form aufmalen. Bei Protonen mit Anstieg beim Rand des Kerns.
**Was ergibt sich für den Wirkungsquerschnitt für ein Bild-> Bild mit Beugungsminima
***Warum?-> Analogie zur Beugung am Hindernis/Beugung am Einzelspalt.
** Welche Energie haben die Elektronen?-> 200MeV
** Warum?-> Damit Wellenlänge im fm-Bereich ist.
**Wie berechnet man die Wellenlänge? -> de Brouglie: lambda=hquer / omega
**Was für ein Beugungsbild bekommt man?-> Fraunhoferbeugung (Bild aufgemalt)
**Wie bekommt man aus Streuwirkungsquerschnitt die Ladungsverteilung? ->Streuwirkungsquerschnitt=Rutherfordquerschnitt mal Formfaktor (Fouriertrafo der Ladungsverteilung)
***Warum Formfaktor?
****-> bei Rutherford wurde von Punktladung ausgegangen, hier ausgedehnte Ladungsverteilung.
****-> Vorgehen Potential (Wood-Saxon-Form) raten und anpassen bis ermittelter Streuquerschnitt über Fouriertrafo der Ladungsverteilung und Rutherfordquerschnitt mit den Messwerten übereinstimmt.
**Warum keine „Vorwärtsrechnung“ möglich? (Vergleich mit Atomphysik) -> Hier komplizierter, da kein Zentralpotential und Überlagerung verschiedener Kräfte (Coulomb, starke, schwache WW).
**Kemradienmessung
*** Rutherford -> Hofstädter (Formfaktor nur mit Leptonenstreuung, Mottstreuung erwähnt)
***Myonisches Atom (nur erwähnt)
**Wie misst man die Neutronenverteilung. daja vorherige Beispiele nur die Ladungsverteilung liefern? -> Streuung mit Hadronen wegen schwerer WW (z.B. a-Teilchen)
[[File:Stanford-linear-accelerator-usgs-ortho-kaminski-5900.jpg|thumb|Stanford Linear Accelerator, shown in an aerial digital orthoimage. The two roads seen near the accelerator are California Interstate 280 (to the East) and Sand Hill Road (along the Northwest).]]