Editing Kernkräfte
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Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math> | Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math> | ||
[[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png | [[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png]] | ||
<math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2 | <math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2 | ||
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Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem" | Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem" | ||
[[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png | [[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png]] | ||
<math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System | <math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System | ||
Line 98: | Line 98: | ||
Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems | Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems | ||
[[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png | [[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png]] | ||
{{FB|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/ | {{FB|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/dn</math> in Raumwinkel <math>d\Omega</math>: | ||
:<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math> | |||
:<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math> | |||
;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>|e^{ikz}|^2 v</math>, <math>|e^{ikz}|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit | ;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>|e^{ikz}|^2 v</math>, <math>|e^{ikz}|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit | ||
Line 112: | Line 111: | ||
Speziell für | Speziell für isotrope Streuung <math>(f(\sigma) = const.)</math> ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4 \pi |f|^2</math> . | ||
===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ||
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | ||
Line 123: | Line 123: | ||
:<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen | :<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen | ||
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 | |||
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 MeV</math>) kann wegen der kurzen | |||
Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | ||
werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | ||
genug heran. | genug heran. | ||
Quantitativ: | Quantitativ: | ||
Line 138: | Line 138: | ||
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>: | Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>: | ||
:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> | :(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle | ||
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der | Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der | ||
S-Wellencharakter, der Wellenvektor | S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. | ||
Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden Kugelwelle''' geben. | Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden | ||
Kugelwelle''' geben. | |||
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | ||
Line 158: | Line 159: | ||
{| class="wikitable center" | {| class="wikitable center" | ||
|- | |- | ||
!Innenbereich I !! Außenbereich | !Innenbereich I !! Außenbereich 11 | ||
|- | |- | ||
| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math> || <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math> | | <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math> || <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math> | ||
Line 167: | Line 168: | ||
|} | |} | ||
Stetige Anpassung für | Stetige Anpassung für u und du/dr bei <math>r = r_0</math> ergibt | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\ | A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\ | ||
Line 174: | Line 175: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ | Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \le K</math> kann man die Sinusfunktion | ||
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | ||
:<math>u \ | :<math>u \approx A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>. | ||
Die sogenannte | Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden | ||
mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend | |||
ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die | |||
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | ||
gerade nicht mehr bindend (<math> | gerade nicht mehr bindend (<math>V_s</math>) ist. | ||
[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png | [[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]] | ||
Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math> | Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math> | ||
Line 193: | Line 197: | ||
Experimentell: | Experimentell: | ||
[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png | [[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png]] | ||
Damit erhält man aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\ | Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential | ||
<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math> . Damit erhält man | |||
aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_s \approx 68 \times 10^{-28}m^ 2</math> und <math>|a_s| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_s < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten | |||
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | ||
Während der Bereich bis ca. | Während der Bereich bis ca. <math>10^4</math> eV vom Sinulett-Potential beherrscht | ||
wird, tritt für den Bereich <math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das | |||
Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab <math>10^7</math> eV müssen verstärkt | |||
höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden. | |||
Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | ||
versucht man die Kernkräfte durch | versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse | ||
Teil durch | zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" | ||
Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der | |||
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil ( | Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. | ||
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden | |||
Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt | |||
werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere | werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere | ||
Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer | Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer | ||
kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und | |||
Mesonen ihrerseits aus | Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von | ||
Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der | |||
Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | ||
==Ergänzende Informationen== | ==Ergänzende Informationen== | ||
(gehört nicht zum Skript) | (gehört nicht zum Skript) |