Editing Kernkräfte

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=8|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>


Wegen <math>B/A \approx const \to</math> Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste
Modellsysteme:

*a) das Deuteron und 
*b) n-p Streuung


== Deuteron ==
das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften
:1) Bindungsenergie <math>n + p \to  d + 2,2 MeV</math>
:2) Kernspin <math>I = 1</math>, magn. Kerndipolmoment <math>\mu_I = 0,857 ... \mu_K</math> (<math>\mu_I \approx \mu_p + \mu_n = 0,879 ... \mu_K \to I  = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} , {}^3S_l</math>-Zustand) el. Quadrupolmoment <math>Q = +2,86 10^{-31} m^2 = 2,7</math>mb, d.h. sehr klein
:3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.

Reduktion des {{FB|Zweikörperproblem}}s durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math>

Schrödingergleichung <math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V \right] \Psi = E \Psi</math>

Problem <math>E = -2,2 MeV</math> bekannt, V unbekannt. 

Annahme: <math>V = V(r)</math> Zentralpotential.
Separationsansatz von Radial- und Winkelteil <math>\Psi_{nlm}=R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)</math>

Radialteil <math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2}+V(r) + \frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}\right] \left( r R_{nl} \right) = E_{nl} (rR_{nl})</math>  mit <math>\frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}</math> Zentrifugalpotential

Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und <math>\mu_I \approx \mu_n+\mu_p</math>  unterstützt). <math>(rR_{nl} ) = (rR_{l0} )= u</math>

Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math> )
[[Datei:8.1.Kastenpotential.png|miniatur|Trennung der Radialgleichung in Innen(I)- und Außen (II)-Bereich]]

'''Innen (I):'''  <math>r \le r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E-V_0) u =0</math> , <math>K = \sqrt{\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}}</math>

Lösung <math>u = A \sin Kr + C\cos Kr RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u=0</math> für <math>r \to 0</math> wegen u/r endlich C = 0
----
'''Außen (II):'''  <math>r \ge r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E) u =0</math> , <math>k = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}=[4,3 10^{-15}m]^{-1}</math>

Lösung <math>u = B' e^{-kr} + D e^{kr} = B e^{-k(r-r_0)}</math> RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u\to0</math> für <math>r \to \infty \to </math> D=0


Stetiger Anlschluß von u und <math>\frac{du}{dr}</math> bei <math>r = r_0</math>:
:<math>\begin{align}
A\sin Kr_0 &= B \\
K A \cos Kr_0 &= B (-k)\\
\to K \operatorname{ctg} K r_0 &= -k 
\end{align}</math>

Damit werden die beiden Parameter (<math>V_0,r_0</math>) des Kastenpotentials miteinander
verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare
:<math>\begin{align}
r_0 &= 1,4 \times 10^{-15} m, &2 \times 10^{-15} m\\
V_0 &= 50 MeV, &30 MeV
\end{align}</math>

[[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png|miniatur]]

Da für <math>I =\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{2}</math> nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte '''spinabhängig''',
wobei nur das Triplettpotential bindend ist.
Erklärt auch die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip.


*Ansatz <math>V =V_1(r) + V_2 (r)(\vec s_1 \vec s_2 ) \quad (\vec s_1 \vec s_2 ) \Rightarrow \frac{1}{2}\left[S(S+1)-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\right]</math>
*{{FB|Triplett}} <math>V_T = V_1 (r) +\frac{1}{4}V_2 (r), \quad S = 1</math>
*{{FB|Singulett}} <math>V_S = V_1 (r) -\frac{3}{4}V_2 (r), \quad S = 0</math>


Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:

Falls V_s gerade nicht mehr bindend <math>\to \sin Kr_0 \approx 1</math> senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im
Außenraum anfügen kann.

<math>Kr_0 \le \frac{\pi}{2}</math> bedeutet in Zahlenwerten <math>|V_0|r_0^2 \lesssim 100,\quad V_0 [MeV], r_0 [10^{-15} m]</math>


Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer '''nichtzentralen''' Kraft, 
die eine <math>^3D_1</math>-Zumischung ermöglicht.

== n-p Streuung ==

Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math>

[[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png]]

<math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2
= 1b)</math>. Festkörpertarget <math>N \approx 10^{22}</math> Kerne/cm³, <math>\sigma \approx 10^{28}m^{-3}</math>, Targetlänge
z.B. <math>1 = 10^{-2}m \to \sigma Nl \approx  10^{-3}-10^{- 2}</math> , d.h. "dünnes" Target mit <math>I =I_0 (l-\sigma Nl)</math>.


Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem"

[[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png]]

<math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System
ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse <math>\mu = m/2</math> und <math>E = E_{LAB}/2</math> an einem festen Streuzentrum bei
<math>r=r_p - r_p \approx 0</math>.

Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems

[[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png]]


{{FB|differentieller Wirkungsquerschnitt}}  <math>d\sigma/dn</math> in Raumwinkel <math>d\Omega</math>:
:<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math>

;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>|e^{ikz}|^2  v</math>, <math>|e^{ikz}|^2 </math>  1 Teilchen pro Raumeinheit
;Fluß der gestreuten Teilchen in <math>d\Omega:|e^{ikr} f(\theta)|^2 r^2 v \to</math> 

:<math>\frac{d \sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2</math> Quadrat der Streuamplitude <math>f(\theta)</math>



Speziell für isotrope Streuung <math>(f(\sigma) = const.)</math> ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4 \pi |f|^2</math> .



===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:===


Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.

:<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math>
:<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen


Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 MeV</math>) kann wegen der kurzen
Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut
werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe
genug heran.
Quantitativ:

[[Datei:8.6.SWellenAnteil.png|miniatur|zentriert|hochkant=3]]

Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math>
und <math>r_0= 10^{-15}</math>m ist für <math>E_{LAB}\le MeV</math>
die Bedingung <math>kr_0 \le  1</math> erfüllt.

Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>:

:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle

Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der
S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten.
Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden
Kugelwelle''' geben.

S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:
:<math>\frac{e^{i (kr+2\delta_0)}- e^{ikr}}{2ikr} \equiv e^{i\delta_0} \frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math>

Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert
die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>:
:<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_{0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv\frac{e^{i(kr+\delta_{0}})}{r}\frac{\sin\delta_{0}}{k}</math>

Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase <math>\delta_0</math>
:<math>\frac{d \sigma}{d \Omega} = | f(\theta)|^2= \frac {\sin^2\delta_0}{k^2}</math>

Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über
die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>.
{| class="wikitable center"
|-
!Innenbereich I !! Außenbereich 11 
|-
| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math>  || <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math> 
|-
| <math>u=A_1 \sin Kr</math> || <math>u=A_1 \sin( kr+\delta_0)</math>
|-
| <math>K=\sqrt\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}</math> || <math>k=\sqrt\frac{2\mu(E)}{\hbar^2}</math> (siehe <math>e^{i\delta_0}\frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math> und <math>\Psi \sim \frac{u}{r}</math>
|}

Stetige Anpassung für u und du/dr bei <math>r = r_0</math> ergibt
:<math>\begin{align}
A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\
K A_1 \cos Kr_0 &= k A_2 \cos (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k\\[0.5em]
K \cot Kr_0 &=  \cot (k r_0 +\delta_0) &= \underbrace{(r_0-a)^{-1}}_{k \ll K}\\
\end{align}</math>

Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \le K</math> kann man die Sinusfunktion
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen
:<math>u \approx A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>.


Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden
mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend
ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder
gerade nicht mehr bindend (<math>V_s</math>) ist.


[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]]

Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math>
unabhängig von E für den Bereich <math>k \le K</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math> und <math>a =
r_ 0-\frac{1}{K} tg Kr_0 </math>. In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter
des Kastenpotentials (<math>V_0, r_0</math>) miteinander verknüpft.


Experimentell:

[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png]]

Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential
<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math> . Damit erhält man
aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_s \approx 68  \times 10^{-28}m^ 2</math> und <math>|a_s| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_s < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.


Während der Bereich bis ca. <math>10^4</math> eV vom Sinulett-Potential beherrscht
wird, tritt für den Bereich <math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das
Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab <math>10^7</math> eV müssen verstärkt
höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.


Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik
versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse
zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige"
Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der
Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben.
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden
Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt
werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere
Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer
kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und
Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von
Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der
Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.