Editing Kernkräfte
Jump to navigation
Jump to search
The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.
Latest revision | Your text | ||
Line 10: | Line 10: | ||
== Deuteron == | == Deuteron == | ||
das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften | |||
:1) Bindungsenergie <math>n + p \to d + 2,2 MeV</math> | :1) Bindungsenergie <math>n + p \to d + 2,2 MeV</math> | ||
:2) | :2) Kernspin <math>I = 1</math>, magn. Kerndipolmoment <math>\mu_I = 0,857 ... \mu_K</math> (<math>\mu_I \approx \mu_p + \mu_n = 0,879 ... \mu_K \to I = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} , {}^3S_l</math>-Zustand) el. Quadrupolmoment <math>Q = +2,86 10^{-31} m^2 = 2,7</math>mb, d.h. sehr klein | ||
:3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es | :3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron. | ||
Reduktion des {{FB|Zweikörperproblem}}s durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math> | Reduktion des {{FB|Zweikörperproblem}}s durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math> | ||
Line 56: | Line 56: | ||
[[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png|miniatur]] | [[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png|miniatur]] | ||
Da für <math> | Da für <math>I =\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{2}</math> nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte '''spinabhängig''', | ||
wobei nur das Triplettpotential bindend ist. | wobei nur das Triplettpotential bindend ist. | ||
Erklärt auch die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip. | Erklärt auch die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip. | ||
Line 68: | Line 68: | ||
Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: | Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: | ||
Falls | Falls V_s gerade nicht mehr bindend <math>\to \sin Kr_0 \approx 1</math> senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im | ||
Außenraum anfügen kann. | Außenraum anfügen kann. | ||
Line 81: | Line 81: | ||
Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math> | Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math> | ||
[[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png | [[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png]] | ||
<math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2 | <math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2 | ||
Line 90: | Line 90: | ||
Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem" | Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem" | ||
[[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png | [[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png]] | ||
<math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System | <math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System | ||
Line 98: | Line 98: | ||
Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems | Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems | ||
[[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png | [[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png]] | ||
{{FB|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/ | {{FB|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/dn</math> in Raumwinkel <math>d\Omega</math>: | ||
:<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math> | |||
:<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math> | |||
;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>|e^{ikz}|^2 v</math>, <math>|e^{ikz}|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit | ;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>|e^{ikz}|^2 v</math>, <math>|e^{ikz}|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit | ||
Line 112: | Line 111: | ||
Speziell für | Speziell für isotrope Streuung (f(\sigma) = const.) ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4 \pi |f|^2</math> . | ||
===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ||
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | ||
:<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math> | :<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math> | ||
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 | <math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen | ||
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 MeV</math>) kann wegen der kurzen | |||
Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | ||
werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | ||
genug heran. | genug heran. | ||
Quantitativ: | Quantitativ: | ||
[[Datei:8.6.SWellenAnteil.png | [[Datei:8.6.SWellenAnteil.png]] | ||
Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math> | Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math> | ||
Line 138: | Line 139: | ||
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>: | Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>: | ||
:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> | :(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle | ||
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der | Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der | ||
S-Wellencharakter, der Wellenvektor | S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. | ||
Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden Kugelwelle''' geben. | Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden | ||
Kugelwelle''' geben. | |||
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | ||
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert | <math>\frac{e^{i (kr+2\delta_0)}- e^{ikr}}{2ikr} \equiv e^{i\delta_0} \frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math> | ||
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert | |||
die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>: | die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>: | ||
:<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_{0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv\frac{e^{i(kr+\delta_{0}})}{r}\frac{\sin\delta_{0}}{k}</math> | :<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_{0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv\frac{e^{i(kr+\delta_{0}})}{r}\frac{\sin\delta_{0}}{k}</math> | ||
Line 156: | Line 163: | ||
Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über | Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über | ||
die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>. | die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>. | ||
Stetige Anpassung für | Innenbereich I Außenbereich 11 | ||
2 | |||
[-~2 | |||
K | - | ||
d2 | |||
+ V ] U = E " u [_h ~ + 0] U = E • u | |||
2p. dr2 0 2p. dr2 | |||
u = Al • sinKr u = A2 " sin(kr+oo ) | |||
K = ,; 2fL(E-VQ)' (siehe eiOo"sin(~~+Og) und W ~ u | |||
ofi2 r | |||
k =j~i | |||
112 | |||
Stetige Anpassung für u und du/dr bei r = r o ergibt | |||
Al sin Kro = A2 " sin (kro+o o ) = A2k(ro-a) | |||
K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k | |||
k " K | |||
. | |||
Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ | Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \le K</math> kann man die Sinusfunktion | ||
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | ||
:<math>u \ | :<math>u \approx A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>. | ||
Die sogenannte | Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden | ||
mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend | |||
ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die | |||
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | ||
gerade nicht mehr bindend (<math> | gerade nicht mehr bindend (<math>V_s</math>) ist. | ||
[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png | [[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]] | ||
Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math> | Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math> | ||
Line 193: | Line 204: | ||
Experimentell: | Experimentell: | ||
[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png | [[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png]] | ||
Damit erhält man aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\ | Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential | ||
<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math> . Damit erhält man | |||
aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_s \approx 68 \times 10^{-28}m^ 2</math> und <math>|a_s| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_s < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten | |||
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | ||
Während der Bereich bis ca. | Während der Bereich bis ca. <math>10^4</math> eV vom Sinulett-Potential beherrscht | ||
wird, tritt für den Bereich <math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das | |||
Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab <math>10^7</math> eV müssen verstärkt | |||
höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden. | |||
Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | ||
versucht man die Kernkräfte durch | versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse | ||
Teil durch | zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" | ||
Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der | |||
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil ( | Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. | ||
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden | |||
Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt | |||
werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere | werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere | ||
Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer | Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer | ||
kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und | |||
Mesonen ihrerseits aus | Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von | ||
Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der | |||
Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | ||