Editing Kernkräfte
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Latest revision | Your text | ||
Line 3: | Line 3: | ||
Wegen <math>B/A \approx const \to</math> Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste | Wegen <math>B/A \approx const \to</math> Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste | ||
Modellsysteme: | Modellsysteme: a) das Deuteron und b) n-p Streuung | ||
==a) Deuteron == | |||
das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften | |||
:1) Bindungsenergie <math>n + p \to d + 2,2 MeV</math> | |||
:2) Kernspin <math>I = 1</math>, magn. Kerndipolmoment <math>\mu_I = 0,857 ... \mu_K</math> (<math>\mu_I \approx \mu_p + \mu_n = 0,879 ... \mu_K \to I = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} , {}^3S_l</math>-Zustand) el. Quadrupolmoment <math>Q = +2,86 10^{-31} m^2 = 2,7</math>mb, d.h. sehr klein | |||
:3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron. | |||
Reduktion des | Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math> | ||
Schrödingergleichung <math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V \right] \Psi = E \Psi</math> | Schrödingergleichung <math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V \right] \Psi = E \Psi</math> | ||
Annahme: <math>V = V(r)</math> Zentralpotential. | Problem <math>E = -2,2 MeV</math> bekannt, V unbekannt. Annahme: <math>V = V(r)</math> Zentralpotential. | ||
Separationsansatz von Radial- und Winkelteil <math>\Psi_{nlm}=R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)</math> | Separationsansatz von Radial- und Winkelteil <math>\Psi_{nlm}=R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)</math> | ||
Radialteil <math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2}+V(r) + \frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}\right] \left( r R_{nl} \right) = E_{nl} (rR_{nl})</math> mit <math>\frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}</math> Zentrifugalpotential | Radialteil <math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2}+V(r) + \frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}\right] \left( r R_{nl} \right) = E_{nl} (rR_{nl})</math> mit <math>\frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}</math> Zentrifugalpotential | ||
Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und <math>\mu_I \approx \mu_n+\mu_p</math> unterstützt). <math>(rR_{nl} ) = (rR_{l0} )= u</math> | Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und <math>\mu_I \approx \mu_n+\mu_p</math> unterstützt). <math>(rR_{nl} ) = (rR_{l0} )= u</math> | ||
Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math> ) | Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math> ) | ||
[[Datei:8.1.Kastenpotential.png|miniatur| | |||
Trennung der Radialgleichung in Innen | |||
(I)- und Außen (II)-Bereich ]] | |||
I <math>r \le r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E-V_0) u =0</math> , <math>K = \sqrt{\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}}</math> | |||
Lösung <math>u = A \sin Kr + C\cos Kr RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u=0</math> für <math>r \to 0</math> wegen u/r endlich C = 0 | Lösung <math>u = A \sin Kr + C\cos Kr RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u=0</math> für <math>r \to 0</math> wegen u/r endlich C = 0 | ||
I <math>r \ge r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E) u =0</math> , <math>k = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}=[4,3 10^{-15}m]^{-1}</math> | |||
Lösung <math>u = B' e^{-kr} + D e^{kr} = B e^{-k(r-r_0)}</math> RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u\to0</math> für <math>r \to \infty \to </math> D=0 | Lösung <math>u = B' e^{-kr} + D e^{kr} = B e^{-k(r-r_0)}</math> RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u\to0</math> für <math>r \to \infty \to </math> D=0 | ||
Stetiger Anlschluß von u und | |||
Stetiger Anlschluß von u und \frac{du}{dr} bei <math>r = r_0</math> : | |||
A\sin Kr_0 &= B | |||
K A \cos Kr_0 &= B (-k) | <math>\begin{align} | ||
A\sin Kr_0 &= B | |||
K A \cos Kr_0 &= B (-k) | |||
K \operatorname{ctg} K r_0 &= -k | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Damit werden die beiden Parameter (<math>V_0,r_0</math>) des Kastenpotentials miteinander | Damit werden die beiden Parameter (<math>V_0,r_0</math> ) des Kastenpotentials miteinander | ||
verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare | verknüpft, z.B. mögliche | ||
Wertepaare | |||
r_0 &= 1,4 \times 10^{-15} m, | <math>\begin{align} | ||
V_0 &= 50 MeV, | r_0 &= 1,4 \times 10^{-15} m, 2 \times 10^{-15} m | ||
V_0 &= 50 MeV, 30 MeV | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
[[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png|miniatur]] | [[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png|miniatur]] | ||
Da für <math> | Da für <math>I =\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{2}</math> nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte '''spinabhängig''', | ||
wobei nur das Triplettpotential bindend ist. | wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch | ||
Erklärt auch die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip. | die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip. | ||
Ailsatz V =V1( r) + v 2 (r)0(s--l+o-s-+2 ) (-5-+1 --+ 1 3 | |||
05 2 ) :::} 7[S(S+1) 4 | |||
Triplett VT = VI (r) + 4 0 V2 (r) S = 1 | |||
1 | |||
Singulett Vs = VI (r) - 4 | |||
3 0 V2 (r) S = 0 | |||
Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: | Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: | ||
Falls V_s gerade nicht mehr bindender, <math>\sin Kr_0 \approx 1</math> senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im | |||
Falls | |||
Außenraum anfügen kann. | Außenraum anfügen kann. | ||
Line 74: | Line 85: | ||
Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer '''nichtzentralen''' Kraft, | Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen | ||
die eine <math>^3D_1</math>-Zumischung ermöglicht. | sehr kleinen Beitrag einer '''nichtzentralen''' Kraft, die eine <math>^3D_1</math>-Zumischung | ||
ermöglicht. | |||
== n-p Streuung == | |||
== b) n-p Streuung == | |||
Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math> | Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math> | ||
[[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png | [[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png]] | ||
<math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2 | <math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2 | ||
Line 90: | Line 103: | ||
Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem" | Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem" | ||
[[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png | [[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png]] | ||
<math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System | <math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System | ||
Line 98: | Line 111: | ||
Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems | Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems | ||
[[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png | [[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png]] | ||
{{FB|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/ | {{FB|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/dn</math> in Raumwinkel <math>d\Omega</math>: | ||
:<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math> | |||
:<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math> | |||
;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>|e^{ikz}|^2 v</math>, <math>|e^{ikz}|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit | ;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>|e^{ikz}|^2 v</math>, <math>|e^{ikz}|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit | ||
Line 112: | Line 124: | ||
Speziell für | Speziell für isotrope Streuung (f(\sigma) = const.) ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4 \pi |f|^2</math> . | ||
===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ||
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | ||
:<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math> | :<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math> | ||
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 | <math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen | ||
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 MeV</math>) kann wegen der kurzen | |||
Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | ||
werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | ||
genug heran. | genug heran. | ||
Quantitativ: | Quantitativ: | ||
[[Datei:8.6.SWellenAnteil.png | [[Datei:8.6.SWellenAnteil.png]] | ||
Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math> | Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math> | ||
Line 138: | Line 152: | ||
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>: | Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>: | ||
:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> | :(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle | ||
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der | Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der | ||
S-Wellencharakter, der Wellenvektor | S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. | ||
Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden Kugelwelle''' geben. | Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden | ||
Kugelwelle''' geben. | |||
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | ||
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert | <math>\frac{e^{i (kr+2\delta_0)}- e^{ikr}}{2ikr} \equiv e^{i\delta_0} \frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math> | ||
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert | |||
die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>: | die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>: | ||
:<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_{0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv\frac{e^{i(kr+\delta_{0}})}{r}\frac{\sin\delta_{0}}{k}</math> | :<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_{0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv\frac{e^{i(kr+\delta_{0}})}{r}\frac{\sin\delta_{0}}{k}</math> | ||
Line 156: | Line 176: | ||
Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über | Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über | ||
die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>. | die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>. | ||
Stetige Anpassung für | Innenbereich I Außenbereich 11 | ||
2 | |||
[-~2 | |||
K | - | ||
d2 | |||
+ V ] U = E " u [_h ~ + 0] U = E • u | |||
2p. dr2 0 2p. dr2 | |||
u = Al • sinKr u = A2 " sin(kr+oo ) | |||
K = ,; 2fL(E-VQ)' (siehe eiOo"sin(~~+Og) und W ~ u | |||
ofi2 r | |||
k =j~i | |||
112 | |||
Stetige Anpassung für u und du/dr bei r = r o ergibt | |||
Al sin Kro = A2 " sin (kro+o o ) = A2k(ro-a) | |||
K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k | |||
k " K | |||
. | |||
Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ | Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \le K</math> kann man die Sinusfunktion | ||
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | ||
:<math>u \ | :<math>u \approx A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>. | ||
Die sogenannte | |||
Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden | |||
mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend | |||
ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die | |||
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | ||
gerade nicht mehr bindend (<math> | gerade nicht mehr bindend (<math>V_s</math>) ist. | ||
[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png | [[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]] | ||
Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math> | Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math> | ||
Line 193: | Line 217: | ||
Experimentell: | Experimentell: | ||
[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png | [[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png]] | ||
Grobe Abschätzung aus | Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential | ||
<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math> . Damit erhält man | |||
aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_s \approx 68 \times 10^{-28}m^ 2</math> und <math>|a_s| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_s < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten | |||
Damit erhält man aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\ | |||
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | ||
Während der Bereich bis ca. | Während der Bereich bis ca. <math>10^4</math> eV vom Sinulett-Potential beherrscht | ||
wird, tritt für den Bereich <math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das | |||
Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab <math>10^7</math> eV müssen verstärkt | |||
höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden. | |||
Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | ||
versucht man die Kernkräfte durch | versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse | ||
Teil durch | zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" | ||
Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der | |||
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil ( | Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. | ||
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden | |||
Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt | |||
werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere | werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere | ||
Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer | Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer | ||
kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und | |||
Mesonen ihrerseits aus | Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von | ||
Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der | |||
Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | ||