Editing Kernkräfte
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Wegen <math>B/A \approx const \to</math> Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste | Wegen <math>B/A \approx const \to</math> Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste | ||
Modellsysteme: | Modellsysteme: a) das Deuteron und b) n-p Streuung | ||
a) Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften | |||
:1) Bindungsenergie <math>n + P \to d + 2,2 MeV</math> | |||
:2) Kernspin <math>I = 1</math>, magn. Kerndipolmoment <math>\mu_I = 0,857 ... \mu_K</math> (<math>\mu_I \approx \mu_p + \mu_n = 0,879 ... \mu_K \to I = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} , {}^3S_l</math>-Zustand) el. Quadrupolmoment <math>Q = +2,86 10^{-31} m^2 = 2,7</math>mb, d.h. sehr klein | |||
:3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron. | |||
Reduktion des | Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math> | ||
Schrödingergleichung <math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V \right] \Psi = E \Psi</math> | Schrödingergleichung <math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V \right] \Psi = E \Psi</math> | ||
Annahme: <math>V = V(r)</math> Zentralpotential. | Problem <math>E = -2,2 MeV</math> bekannt, V unbekannt. Annahme: <math>V = V(r)</math> Zentralpotential. | ||
Separationsansatz von Radial- und Winkelteil <math>\Psi_{nlm}=R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)</math> | Separationsansatz von Radial- und Winkelteil <math>\Psi_{nlm}=R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)</math> | ||
Radialteil <math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2}+V(r) + \frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}\right] \left( r R_{nl} \right) = E_{nl} (rR_{nl})</math> mit <math>\frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}</math> Zentrifugalpotential | Radialteil <math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2}+V(r) + \frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}\right] \left( r R_{nl} \right) = E_{nl} (rR_{nl})</math> mit <math>\frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}</math> Zentrifugalpotential | ||
Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und <math>\mu_I \approx \mu_n+\mu_p</math> unterstützt). <math>(rR_{nl} ) = (rR_{l0} )= u</math> | Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und <math>\mu_I \approx \mu_n+\mu_p</math> unterstützt). <math>(rR_{nl} ) = (rR_{l0} )= u</math> | ||
Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math> ) | Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math> ) | ||
[[Datei:8. | [[Datei:8.1.Kastenpotential.png|miniatur| | ||
Trennung der Radialgleichung in Innen | |||
(1)- und Außen (I1)-Bereich ]] | |||
! r ~ r o dr2 112 (E - Vo)ou = 0 112 | |||
Lösung u = AosinKr + CocosKr RB: u = 0 für r ~ 0 | |||
= AosinKr wegen u/r endlich C = 0 | |||
d 2u [4,3 0 10-15m]-1 !I r ~ r o + 2~ Eou = 0 | |||
dr2 112 | |||
Lösung u = B' oe-kr + Dekr RB: u ~ 0 für r~oo | |||
= Be-k(r-ro) nv D = 0 | |||
u, V | |||
du | |||
Stetiger Ailschluß von u und | |||
dr | |||
bei r = r o : | |||
AosinKro = B | |||
KoAocosKro = Bo(-k) | |||
-------E KoctgKro = -k | |||
Damit werden die beiden Parameter | |||
(Va' r o ) des Kastenpotentials miteinander | |||
verknüpft, z.B. mögliche | |||
Wertepaare | |||
r o = 1,4 0 10-15 m, 2010-15 m | |||
Va = 50 MeV, 30 MeV | |||
[[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png]] | |||
Oa f u"" r ~I = l-?, + l-?, nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte soinabhängig, | |||
wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch | |||
die Nichtexistenz von p2 und n2 durch das Pauli-Prinzip. | |||
Ailsatz V =V1( r) + v 2 (r)0(s--l+o-s-+2 ) (-5-+1 --+ 1 3 | |||
05 2 ) :::} 7[S(S+1) 4 | |||
Triplett VT = VI (r) + 4 0 V2 (r) S = 1 | |||
1 | |||
Singulett Vs = VI (r) - 4 | |||
3 0 V2 (r) S = 0 | |||
Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: | Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: | ||
Falls Vs gerade nicht mehr bindendr,vsinKro ~ 1 senkrecht auf Potentialwand, | |||
Falls | so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im | ||
Außenraum anfügen kann. | Außenraum anfügen kann. | ||
Kro ~ ; bedeutet in Zahlenwerten Ivolor~ ~ 100 | |||
Va [MeV], r o [10-15 m] | |||
Die | |||
Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen | |||
sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine 3D1- zumischung | |||
ermöglicht. | |||
== n-p Streuung == | == b) n-p Streuung == | ||
Wirkungsquerschnitt | Wirkungsquerschnitt a[m2 ] | ||
[[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png]] | |||
aals "Trefferfläche" , z.B. a(geom.) = 1I"R2 R3 10-29_10-28m2 (l0-28m2 | |||
= 1b). Festkörpertarget N R3 1022 Kerne/cm~ö~1028m-3, Targetlänge | |||
z.B. 1 = 10-2m"'aNl R3 10-3_10- 2 , d.h. "dünnes" Target mit I = | |||
I o (l-aNl) . | |||
Kinematik: m "" m", "Billardproblem" p | |||
[[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png]] | |||
2 ~ 1 Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CMSystem | |||
ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter | |||
Masse ~ = m/2 und E = ELAB/2 an einem festen Streuzentrum bei | |||
~ ~ ~ r:;;:: r - r ~ o. | |||
ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse | |||
Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems | Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems | ||
[[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png | [[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png]] | ||
differentieller Wirkungsquerschnitt da/dn in Raumwinkel dn: | |||
da Fluß der gestreuten Teilchen in Raumwinkel dn (Detektor) | |||
dn Fluß der einlaufenden Teilchen pro Einheitsfläche | |||
Fluß der einfallenden Teilchen: leikz l 2 • v | |||
'- .. J | |||
1 Teilchen pro Raumeinheit | |||
e ikr 2 2 Fluß der gestreuten Teilchen in dn: I--r - • f(0) I • r • v ~ | |||
adna = If (0) I 2 Quadrat der Streuamplitude f(0) | |||
Speziell für isotrope Streuung (f(0) = const.) ist dann der | |||
(Gesamt)-Wirkungsquerschnitt a = 411" • If1 2 . | |||
Berechnung des Wirkungsquerschnitts: | |||
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | ||
e ikz = eikrcos0 = 1:: i 1 (21+1) jl(kr)"P1(cos0) | |||
1 | |||
jl(kr) sphärische Besselfunktionen | |||
Sinn: Bei niedrigen Energien (En $ 10 MeV) kann wegen der kurzen | |||
Sinn: Bei niedrigen Energien ( | Reichweite der Kernkräfte nur der 1 = O-Anteil (S-Wellenl gestreut | ||
Reichweite der Kernkräfte nur der | werden. Teilchen mit 1 t 0 kommen bei diesen Energien nicht nahe | ||
werden. Teilchen mit | |||
genug heran. | genug heran. | ||
Quantitativ: | Quantitativ: | ||
[[Datei:8.6.SWellenAnteil.png | [[Datei:8.6.SWellenAnteil.png]] | ||
Wegen k | |||
= 0,15".J~ELAB[MeV]i"10l5 m- l | |||
und r o -~ 10-15 m ist für E LAB $ MeV | |||
die Bedingung kro $ 1 erfüllt. | |||
1 2 | |||
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit jo(kr): | |||
sin kr _ eikr_e-lkr | |||
(S-Wellenanteil) = | |||
kr/ 2ikr""'" | |||
auslaufende einlaufende Kugelwelle | |||
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials V = Ver) bleiben der | |||
S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. | |||
Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden | |||
Kugelwelle geben. | |||
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | ||
e i (kr+20 0 l_e ikr _ iO sin(kr+ool 2ikr = e 0 " kr | |||
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert | |||
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert | di~ qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende | ||
el.kl." | |||
Kugelwelle --r-- " f(0): | |||
eiCkr+ | |||
Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von | 200 l _eikr sinoo | ||
- 2ikr " k | |||
Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von | |||
Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential ( | Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (Va' r o ) über | ||
die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch | die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch E > O. | ||
Innenbereich I Außenbereich 11 | |||
2 | |||
[-~2 | |||
- | |||
d2 | |||
+ V ] U = E " u [_h ~ + 0] U = E • u | |||
2p. dr2 0 2p. dr2 | |||
u = Al • sinKr u = A2 " sin(kr+oo ) | |||
K = ,; 2fL(E-VQ)' (siehe eiOo"sin(~~+Og) und W ~ u | |||
ofi2 r | |||
k =j~i | |||
Stetige Anpassung für | 112 | ||
Stetige Anpassung für u und du/dr bei r = r o ergibt | |||
Al sin Kro = A2 " sin (kro+o o ) = A2k(ro-a) | |||
K | K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k | ||
k " K | |||
. Im niederenergetischen Bereich mit k " K kann man die Sinusfunktion | |||
Im niederenergetischen Bereich mit | |||
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | ||
u ~ A2 (kr+o o ) = A2k(r-a) mit 00 = -ka. | |||
Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden | |||
Die sogenannte | mit der r-Achse. Je nachdem (Va' r o ) für E ~ 0 bindend oder nichtbindend | ||
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch ( | ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die | ||
gerade nicht mehr bindend ( | Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (VT) oder | ||
gerade nicht mehr bindend (Vs ) ist. | |||
- 29 eiCkr+ | |||
[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png | 200 l _eikr sinoo | ||
- 2ikr " k | |||
Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von | |||
der | |||
[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]] | |||
Wirkungsquerschnitt a = 4~lf(0)12 = 4~.sln Q = 4~a2 | |||
unabhängig von E für den Bereich k ({ K mi~2" = -ka und a = | |||
1 0 | |||
r o - K tgKro ' In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter | |||
des Kastenpotentials (Vo ' r o) miteinander verknüpft. | |||
Experimentell: | Experimentell: | ||
[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png | [[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png]] | ||
Grobe Abschätzung aus | Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential | ||
a T = 5,7.10-1Sm und damit aT ~ 4,5.10-28m2 . Damit erhält man | |||
aus a ~ 20.10-28m2 für a s ~ 68.l0-28m2 und lasl = 23.l0- 28m2 . Das | |||
Damit erhält man aus | negative Vorzeichen a s < 0 folgt aus Messungen der kohärenten | ||
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | ||
Während der Bereich bis ca. 104 eV vom Si~ulett-Potential beherrscht | |||
wird, tritt für den Bereich 104 - 107 eV immer mehr das | |||
Während der Bereich bis ca. | Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab 107 eV müssen verstärkt | ||
höhere B'ahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden. | |||
Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | ||
versucht man die Kernkräfte durch | versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse | ||
Teil durch | zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" | ||
Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der | |||
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil ( | Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. | ||
werden. Dabei spielen nicht nur die | Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden | ||
Mesonen (z.B. das | Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt | ||
werden. Dabei spielen nicht nur die ~-Mesonen, sondern schwere | |||
Mesonen ihrerseits aus | Mesonen (z.B. das w-Meson mit mc 2 = 783 MeV) wegen ihrer | ||
kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und | |||
Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von | |||
Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der | |||
Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | ||